[대학수학 - 미분적분학] 02. 순간변화율의 계산 - 극한과 구간축소법

극한

Limits

 

미분(differentiation)의 과정을 이해하기 위해 먼저 극한(limit)의 개념에 대해 간단히 확인하도록 한다.

• 일변수 함수의 극한: 만약 x가 a에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)는 어떠한 극한 값을 가지게 되고 이 극한 값을 L로 표현할 수 있다.
• 극한의 계산: 어떤 함수 f(x)가 존재할 때 값 x가 a에 무한히 가까워질 때 값을 구하는 과정
• 단, x가 a에 접근한다는 것이 x=a를 의미하는 것은 아니다.

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기호로는,

이라 표현한다.

그림 1

 

[그림 1]의 붉은색 곡선은 x축 상의 f(x)값들을 모두 연결한 선으로 x축의 특정한 지점 a에서의 f(x)는 '극한의 계산' 과정을 통해 limf(x)_x→a=L로 계산된다. 이 극한 값을 계산하기 위해서는 우리는 구간축소법(shrinking interval method)를 배워야 한다.

 

특정한 점에서의 변화율

Rate of Change at a Specific Point

 

이전 챕터에서 우리는 함수의 변화율을 (1)현과 (2)접선의 기울기로 학습했다. 지금부터는 임의의 점에 대한 실질적인 함수의 변화율을 구해보자.

그림 2

 

[그림 2]의 함수는 다음 식으로 표현된다.

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그리고 구간 [3,4]에서 변화율을 다음과 같이 구할 수 있다.

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마찬가지로, 어떤 특정한 점에서의 함수의 변화율을 구하기 위해서는 그 점에 최대한 근접한 구간의 기울기를 구함으로써 풀 수 있다. 따라서 그 구간을 [3,3.1], [3, 3.01]... 로 계속 줄여나가면 된다.

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구간에서의 평균 변화율을 계속 계산하다보면 18로 다가가는 경향성을 확인할 수 있다.

 

구간축소법

Shrinking Interval Method(SIM)

 

위 문제는 구간축소법(SIM)이라는 기법을 소개하는 대표 예제로, 어떤 특정한 점에서의 함수의 기울기를 구하기에 매우 직관적인 형태를 갖는다.

• x축의 특정 구간의 축소를 하지만 그 구간 자체가 어떠한 한 점으로 완전하게 일치하지 않음에 유의한다. 즉, 구간의 길이는 아무리 줄이더라도 미소하게라도 존재함을 가정한다.
• 가장 작은 미소 구간 또는 그 두 구간 지점의 차이를 증분(increment)이라 하고, 기호로는 δx로 표기한다.

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구간의 increment를 도입한 후 x=3에서 f(x)=3x^2+2의 변화율을 구해보자.

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특정한 지점의 기울기는 (1)x축의 특정 구간(δx)의 최대한 축소를 통해 구해지며, 극한의 정의를 빌리자면 (2)δx값이 0에 가까워질수록 그 기울기 값은 정확해지기 때문에, δx를 0이라 가정하여,

로 최종 계산할 수 있다.

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SIM에서 구간축소란, 결국 y축의 어떠한 특정한 점 극한 값 L을 구하기 위해 x축의 주어진 구간을 최대한 줄이는 과정이다.

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SIM기법을 활용한 일반적인 한 지점에서의 변화율

그림 3

 

x에 관한 함수 y=f(x)에서, 일반적인 지점 x에 대한 y의 변화율을 계산하고자 한다.

• 구간 [x,x+δx]에서 y의 변화량은 y(x+δx)-y(x)이다. 또한 x축의 구간 길이는 (x+δx)-x다.
• 평균변화율은 Δy/Δx이므로 이를 적용하면 다음과 같이 식이 전개된다.

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특별히, δy가 계산된 배경([그림 3])에 주목하자.

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SIM에서 특정한 지점의 기울기는 결국 δx→0일 때 가장 근사치로 계산되어지므로,

로 표현이 가능하다.

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SIM에 따른 미분의 정의

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