[대학수학 - 미분적분학] 01. 함수와 미분의 정의

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미분적분학(calculus): 미적분학, 미분과 적분에 관한 수학적 셈의 한 분야로 속도나 면적 등의 계산적 도구로 발명되어졌다가 해석학으로 증명됨

• 미분(differentiation): 어떤 미지의 함수가 특정한 지점에서 얼마나 급격하게 변화하는 가를 분석하는 데 사용하는 것으로 미분이라 불리는 도함수를 얻는 것이 그 목적이다.
• 적분(integration): 매우 작은 양인 미분소를 쌓아가는 것에 대한 체계적인 방법

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미분이라는 단어는 특히 한국어 수학교재에서 혼용되어 쓰이나 영문으로는 다음과 같은 특징을 보인다.

1. differentiate: 미분하다, 도함수를 얻다의 의미, 동사형
2. differentiation: 미분하다(differentiate)의 동명사형으로 미분하기 위한 연산과정을 의미
3. differential: 일변수 함수 f(x)의 특정한 점 x에서의 df
4. derivative: 도함수, 함수의 접선 기울기를 보여주는 함수로 미분계수라고도 불림

함수

Functions

함수(function)란, 수학적으로는 두 집합 사이의 관계를 설명하는 논리적 개념으로 주로 한 변수에 대한 다른 변수의 변화를 기술하는 데 사용된다.

• 과학에서 등장하는 모델링(modeling)의 주 목표는, 두 변수 이상의 관계를 특정한 함수로 나타내는 것이다.
• 과학적으로 유효한 함수는 하나의 입력(input)에 대해 오직 하나의 출력(output)만을 발생시키는 것이다.
• 예를 들어 f(x)=2x라는 함수 관계는 x에 어떠한 수치를 집어 넣느냐에 따라서 그 출력이 달라지게 되는데, 여기서 input은 x인 독립변수(independent variable)이고, f(x)는 output인 종속변수(dependent variable)로 불린다.
• 정의역(domain): 독립변수가 취할 수 있는 값들의 집합
• 치역(range): 종속변수가 취할 수 있는 값들의 집합

 

함수의 수학적 해석   어떤 집합 X, Y에 대한 함수 f는 다음을 만족하는 대응관계로 정의한다.   - 임의의 원소(element) x∈X에 대해, 그에 대응하는 원소 y∈Y가 유일하게 존재한다. - 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이라 한다. - 원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of the function), 또는 상(image)이라 하고, f(x)로 표기한다. - 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합, f(X)로 표기한다.

 

또한 어떤 양의 변화는 많은 경우, 또 다른 양의 변화와 연관이 있다. 이탈리아의 물리학자이자 천문학자였던, 갈릴레오(Galileo Galilei, 1564~1642)는 물체가 떨어지는 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 사실을 발견했다.

Galileo Galilei, 1564~1642

 

갈릴레이의 실험 데이터

 

 

 

미분에 대한 접근

Approach to Differentiation

그림 1. 함수 y(t)의 시간(t)에 따른 변화율 그래프

 

[그림 1]을 통해 함수는 다음과 같이 변화함을 알 수 있다.

• 0~5초: 변화율 없음
• 5~7초: 우상향 변화, y의 변화율은 양의 값을 가짐
• 7~8초: 우상향 변화, 5~7초보다 더욱 급변함
• 8~9초: 우하향 변화, y의 변화율은 음의 값을 가짐
• 9~12초: 우하향 변화, 8~9초보다 완만하게 변화함

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미분적분학에서 미분학(differential calculus)은 함수의 변화율을 명확히 기술하는 것이 그 목표이다.

• 함수의 변화율에 대한 정확한 표현 또는 식을 구하는 과정을 differentiation이라고 한다.

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함수의 변화율

Rate of Change of a Function

그림 2. 구간 상 평균 변화율

 

[그림 2]의 A와 B는 각각 t=t_1일 때 함수 y(t_1)의 값, t=t_2일 때 함수 y(t_2)의 값을 나타낸다.

• 구간 t_1에서 t_2 사이의 y의 변화량은 다음과 같다.

• 함수의 변화량은 구간 사이의 변화량 분의 y의 변화량이다.

여기서 델타 Δ는 나중 값 - 처음(기준) 값을 나타낸다.

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[그림 2]에서 A와 B를 연결한 직선을 현(chord)이라 하고 그래프 상에서는 이 chord의 기울어짐을 평균 변화율이라 한다.

• 함수의 변화량 식을 응용하면 chord의 기울어짐은 아래와 같이 정의할 수 있다.

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그래프 상의 chord의 기울어짐은 일반적인 함수의 기울기(slope, 그래디언트)와 같다.

• 두 점 사이의 함수의 평균 변화율은 현의 기울어짐이자 함수의 기울기와 같다.

그림 3. 각기 다른 기울기

 

[그림 3]은 t축을 따라 기울기를 (1)양의 기울기, (2)0의 기울기, (3)음의 기울기로 각각 분류한 것이다.

 

임의의 점에서의 함수 변화율

Rate Change of a Function at a Specific Point

그림 4. 특정한 A에서의 기울기를 알기 위해서는 B를 점차 A와 가깝게 이동시켜야 한다.

 

특정한 지점에서의 함수 변화율을 알고 싶다면 (1)구간 Δt를 줄임으로써 (2)결과적으로 B를 A와 가깝게 배치해 (3)A와 최대한 근접한 구간의 기울기를 구함으로써 함수 변화율의 근사값을 구할 수 있다.

• [그림 4]의 chord AB는 B1에서 B2로 옮겨짐에 따라 점 A에서의 접선과 근사한다.
• 곡선 상의 점 A에서의 함수 변화율은, chord를 점 A에 근사함에 따라 결국 접선의 기울기와 같아진다.
• 접선(tangent): 곡선과 직선이 서로 한 점에서 만날 때, 이때의 직선을 '곡선에 대한 접선'이라고 한다.

 

어떤 곡선 상의 점 A에서 함수의 변화율이란, 접선의 기울기이다.

그림 5. 할선을 접선으로 만들기 위해 할선의 한 지점(Q)을 움직인다. Δx를 0으로 접근(approaches)시킨다고 표현한다.

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참고도서

1. Engineering mathematics: A Foundation for Electronic, Electrical Communications and Systems Engineers, Fifth ed., Anthony Croft et al.