【물리학 - 전자기학】 12. 가우스 법칙

 

가우스 곡면

Gauss's Surface

 

가우스 곡면(Gauss's surface): 닫힌 곡면, 내부 공간과 외부공간을 완벽히 분리하고, 이 면을 지나지 않고서는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없는 표면

• 가우스 곡면은 가우스 법칙을 적용하기 위해 임의로 설정하는 가상의 폐곡면(closed surface)으로 법칙 적용의 첫 번째 과정에 해당한다.
• 전기장 계산을 쉽게 하기 위해 그 모양이 대칭성을 가진 채 설정[그림 1]된다.

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그림 1. 가우스 곡면 내의 전하와 전기장 방향 [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.245)]

 

 

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가우스 곡면 내에 전하가 위치하는 것으로 설정되며, 이때 전하로부터 유래한 전기력선을 다음과 같이 고려한다.

• 알짜 전기력선: 가우스 곡면을 통과하여 나가는 전기력선의 알짜값, (양의 전기력선) - (음의 전기력선)으로 계산한다.
• 양의 전기력선: 가우스 곡면을 뚫고 '전하로부터 멀어지는' 전기력선
• 음의 전기력선: 가우스 곡면을 뚫고 '전하로 향하는' 전기력선[그림 2]

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그림 2. 양의 전기력선과 음의 전기력선 [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.247)]

 

 

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가우스 곡면의 전기력선은 단면적 요소를 포함하여 전기선속으로도 그 값을 대체할 수 있다.

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닫힌 곡면의 전기선속

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<물리량>

• Φ_E: 전기선속
• ∮: 적분, 적분하려는 면이 닫혀 있음

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의미: 전기장의 크기를 계산할 시, 표면에 수직한 전기장 성분만을 고려한다.

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전기선속에 관한 수식 내용은 이전 게시물 【08. 전기선속】에서 이미 언급하였으므로 생략하도록 한다.

 

• 전기선속의 수학적 정의는 전기장의 크기와 전기력선이 지나간 전체면적의 곱이다.
• 전기장의 방향이 면과 수직한 단위벡터(면벡터)와 평행할 때 그 값이 가장 크다.

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가우스 법칙

Gauss's Law

 

Carl Friedrich Gauss, 1777-1855

 

 

독일의 수학자이자 천문학자인 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)가 정리한 식으로 전자기학에서는 다음과 같이 내용이 요약된다.

• 전하를 포함하지 않은 닫힌 곡면에서 알짜 전기선속은 0이다.
• 가우스면 내부의 전하들이 여러 개일 때, 전하량 q는 아래와 같이 계산한다.

가우스 법칙을 유도하기 위한 가장 쉬운 사례인 [그림 1]로부터 '가우스 곡면을 지나는 알짜 전기선속과 닫힌 곡면 내의 양전하 사이의 관계'를 알아보자.

 

그림 3. 닫힌 곡면 내 양전하에 의한 전기장의 방향과 표면적의 관계 [출처:  Sears & Zemansky's University Physics (Young et al, 15th ed., 2020, p.726)]

 

 

[1] 어떤 가우스 구면의 위치든 전기장의 크기는 같고, 전기장의 방향은 가우스 곡면 내 양전하로 인해 구면 바깥쪽을 향할 것[그림 3]이다.

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그림 4

 

 

[2] 구면상의 모든 점에서 전기장과 법선벡터는 서로 평행하다. 따라서 전기선속은 다음 식을 만족한다.

[3] 닫힌 곡면의 전기선속 공식은 [과정 2]의 전기선속 전체를 적분한 값이기 때문에 아래와 같이 응용할 수 있다.

[4] 어떤 가우스 구면의 위치이든 전기장의 크기 E는 같기 때문에 적분 식으로부터 상수로 취급받는다. 그리고 ∮dA는 가우스 곡면인 구의 표면적과 같다.

[5] 양전하의 전기장은 쿨롱의 법칙으로 쉽게 계산할 수 있다.

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닫힌 곡면의 전기선속

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의미: 구면을 통과하는 알짜선속은 구면 내부에 존재하는 전하량에 비례한다.

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가우스 법칙은 위의 닫힌 곡면의 전기선속 두 식을 조합한 것으로 아래와 같이 정리된다.

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가우스 법칙

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의미: 점전하 q를 둘러싼 닫힌곡면을 지나는 알짜 선속은 가우스 곡면의 모양과는 무관하고, 크기는 항상 q/ε_0 값으로 주어진다.

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