【물리학 - 전자기학】 13. 적용: 가우스 법칙

 

전하분포에 따른 가우스 법칙

Applications to Charge Distributions

 

가우스 면의 설정에 따라 가우스의 법칙은 다양한 결과 식을 갖는다.

1. 주어진 대칭성에 의해 전기장의 크기가 일정한 크기의 상수가 되는 경우
2. 전기장의 방향과 면 법선의 방향이 평행하는 경우, 스칼라곱은 EA이다. ⇒ cos0=1
3. 전기장의 방향과 면 법선의 방향이 수직하는 경우, 스칼라곱은 0이다. ⇒ cos90=0
4. 전기장이 가우스면 상에서 0이 되는 경우

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가우스 법칙으로 표현한 일정한 크기의 전기장

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<물리량>

• q_encl: 가우스 면에 닫힌 전하량
• A_G: 가우스 면에 갇힌 전하의 표면적
• ε_0: 자유공간의 유전율, 진공유전율, 전매상수

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도체 구 전하분포

그림 1. 도체 구에 대한 가우스 곡면 설정: 도체 구 외부 [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.255)]

 

 

도체 구 전하분포의 전기장을 가우스 법칙으로 계산해보자.

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구 외부, 한 점에서의 전기장 크기[그림 1]

 

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<물리량>

• Q: 가우스면에 속한 구체의 전하로 (부피전하밀도)x(부피)의 식을 만족한다.
• r: 도체 구의 중점으로부터 가우스 면까지의 거리[그림 1], r>R

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Q는 아래와 같이 구한다.

 

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그림 2. 도체 구에 대한 가우스 곡면 설정: 도체 구 내부 [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.255)]

 

 

구 내부, 한 점에서의 전기장 크기[그림 2]

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구 내부, 한 점에서의 전기장 크기는 아래와 같은 유도과정을 통해 계산된다.

<물리량>

1. Q: 가우스 면에 포함된 전하량 ⇒ Q=ρ(4πr^3/3) (r: 구체전하의 반지름)
2. r: 구체의 중점에서부터 가우스 면까지의 거리 cf. R: 구체전하의 반지름

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그림 3. 구 대칭 전하분포 가우스면의 설정에 따른 전기장 크기 그래프  [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.256)]

 

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구 대칭 전하분포에 대한 가우스면을 어디에 설정하느냐에 따라, 전기장의 크기는 가우스 면 반지름 r에 비례하거나 혹은 제곱에 반비례할 수도 있다.[그림 3]

1. 구 대칭 전하분포 내 가우스 면 반지름에 대해 전기장의 크기는 비례한다.
2. 구 대칭 전하분포 외 가우스 면 반지름에 대해 전기장의 크기는 제곱에 반비례한다.

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원통 대칭 전하분포

 

그림 4. 원통 대칭의 조건: (a)와 (d)의 조건이 유효하다.  [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.260)]

 

 

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[그림 4]와 같이 전하가 분포된 선이 무한히 길다고 설정하면, 점의 수직 위치에 상관없이 선으로부터 같은 거리에 있는 모든 점에서 전기장의 크기는 일정하다.

• 가우스 면은 원통 모양으로 선을 감싼 형태[그림 5]로 가우스 면에 같은 전하량은 다음과 같다.

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그림 5. 선전하 전기장  [출처: Openstax University Physics (Ling et al, 1st ed., 2017, p.261)]

 

 

 

 

원통 대칭 전기장 크기

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원통 대칭 전기장 크기에 쿨롱 상수를 적용하면 다음과 같이 식을 정리할 수도 있다.

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의미: 선전하분포의 경우, 전기장의 크기는 선전하 밀도에 비례하고, 떨어진 거리에 반비례한다.

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평면 전하분포

 

그림 6. 평면전하, 관통 가우스면  [출처: University Physics with Modern Physics (Bauer et al, 2nd ed., 2014, p.697)]

 

 

전하를 띤 평면이 무한히 크면[그림 6], 평면으로부터 떨어진 모든 점의 전기장 크기는 같다.

• 전기장은 모든 점에 대해 그 평면의 수직한 방향으로만 방사한다.
• 가우스 면의 설정: 평면에 수직인 축을 가지고 각각의 넓이가 A인 평면을 관통한 원통으로 곡면을 설정한다.

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전하를 띈 평면을 관통한 가우스 곡면에 대한 전기 선속

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전체 가우스 면을 통과하는 전체 선속은 곡면 양 끝을 통과하는 선속의 총합과 같다. 만약, 가우스 곡면이 평면을 ‘뚫지 않은’ 원통[그림 7]이라면 전기 선속은 다음과 같다.

 

그림 7. 평면전하, 비관통 가우스면  [출처: University Physics with Modern Physics (Bauer et al, 2nd ed., 2014, p.698)]

 

 

가우스 면에 포함된 전하는 σA(면전하분포)이다.

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평면전하의 전기장 크기

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위 식은 아래와 같이 유도된다.

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