【물리학 - 고전역학】 30. 중력장에서의 운동: 연직방향

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만약 2차원 상에서의 운동이 주어진 경우, 이 운동은 각각 x방향과 y방향으로 나뉜 독립된 운동들로 기술될 수 있다. 즉, 각 축의 방향은 서로 독립되게 존재하며, 이는 x축의 운동 변화에 주는 요인이 y축의 운동 변화에는 영향을 주지 않음을 의미한다.

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자유 낙하

Free Fall

 

그림 1. 갈릴레이의 피사 실험 [출처: Wikipedia, "Galileo's Leaning Tower of Pisa Experiment"]

 

 

이탈리아의 천문학자 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564-1642)는 자신이 고안한 실험[그림 1]을 통해 공기의 저항이 없는 조건에서 지표면 부근의 모든 물체는 질량과 관계없이 동등한 중력가속도를 갖는다고 생각했다. 지구의 중력에 의해 물체는 일정한 높이에서 중력가속도라는 등가속도를 가지며, 중력가속도의 방향은 항상 지구 중심부를 향한다.

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데이비드 스콧의 실험

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David Scott, 1932-

 

 

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미국의 공학자이자 우주비행사였던 데이비드 스콧(David Scott, 1932-)은 1971년 8월 2일 아폴로 15호의 임무로 중력에 관한 변형된 실험을 아래와 같이 진행하였다.

• 달에서의 망치-깃털 실험(drop experiment)[그림 2]: 달에는 대기가 거의 없기 때문에 깃털을 떨어뜨려도 움직임에 저항할 요소가 없었다. 따라서 갈릴레이의 예상과 같이 깃털은 망치와 동시에 달 표면에 도달하였다.

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그림 2. 망치-깃털 실험(Hammer-Feather Drop Experiment) [출처: Openstax University Physics Vol 1 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.137)]

 

 

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자유낙하물체

자유낙하(free fall): 공기 저항이 부재한 조건에서 지표면으로 떨어지는 물체의 가속도 운동

• 자유낙하 가속도: 벡터 g로 표현하며, 지표면을 기준으로 방향은 지구 중심부를 향한다. 벡터 g의 크기는 고도가 높아짐에 따라 감소하며, 질량분포에 기인하기 때문에, 위도에 따라서도 크기가 약간씩 달라진다.
• 중력가속도의 일반적인 크기는 9.8[m/s^2]으로 근사한다.

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자유낙하물체: 처음의 운동 상태와는 무관하게 중력만의 영향 아래 자유롭게 움직이는 물체로 그 움직임은 크게 3가지로 나뉜다.

1. 연직상방운동: 처음 위치로부터 위로 던진 물체의 운동
2. 연직하방운동: 처음 위치로부터 아래로 던진 물체의 운동
3. 포물선 운동: [그림 3]과 같이 포물선을 그리는 운동

그림 3. 포물선 운동

 

 

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연직상방운동

Vertical Upward Motion under Gravity

 

자유낙하물체의 운동을 분석하기 위해 직선을 따라 일정한 가속도 a로 움직이는 물체의 운동학 식(kinematics equation)이 필요하다.

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<물리량>

• v_i: 초기 속도
• v_f: 나중 속도
• a: 가속도
• t: 시간
• x_i: 초기 이동거리
• x_f: 나중 이동거리

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자유낙하는 (1)y축을 기준으로 발생하고 (2)중력가속도 g에 의해 지배받기 때문에, x항은 y로, a는 g로 각 항을 바꾼다.

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그림 4. 연직상방운동

 

[그림 4]와 같이 물체를 위로 던졌을 때, 원점 O를 기준으로 위쪽을 (+)방향으로 잡는다. 그러면 처음 속도 v_0는 (+)의 값을 갖고, 중력가속도 g는 (-)의 값을 갖는다.

위의 두 조건을 운동학 식에 대입한다.

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최고점 도달시간과 최고점 높이

연직상방운동의 경우, 최고점이 존재하고 이때의 도달시간과 높이가 존재한다. 최고점에서의 물리적 특성은 도달 지점에서의 속도가 0이라는 점인데, 이것을 운동학 식에 대입하면 두 물리량을 쉽게 구할 수 있다.

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연직상방운동 최고점 도달시

 

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연직상방운동 최고점 높이

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그림 5. 연직상방운동 v-t 그래프

 

 

연직상방운동을 v-t 그래프[그림 5]로 나타내면 최고점을 기준으로 기울기는 음수이고, y절편은 양수인데, 일차함수 식에 대입하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있다.

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연직상방운동 최고점 도달시

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연직상방운동 최고점 높이

 

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연직하방운동

Vertical Downward Motion under Gravity

 

그림 6. 연직하방운동

 

[그림 6]와 같이 물체를 아래로 던졌을 때, 원점 O를 기준으로 아래쪽을 (+)방향으로 잡는다. 그러면 처음 속도 v_0는 (+)의 값을 갖고, 중력가속도 g또한 (+)의 값을 갖는다.

 

위 두 조건을 운동학 식에 대입한다.

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그림 7. 연직하방운동 v-t 그래프

 

 

연직 아래로 던진 물체의 운동의 그래프는 [그림 7]과 같이 나타낸다.