【미분적분학 노트】 08. 적용: 나이에 따른 최대 심박수 계산 및 시간 변화량 구하기

 

Hirofumi Tanaka

 

미국 텍사스대 오스틴 캠퍼스에 재직하고 있는 운동생리학자 히로후미 다나카(Hirofumi Tanaka) 외 연구자들은 최대 심박수(maximal heart rate)가 나이에 따라 어떻게 변화하는 지를 연구(2001)하였다.

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참고문헌

1. Age-predicted Maximal Heart Rate Revisited (Tanaka et al, 2001) / https://doi.org/10.1016/S0735-1097(00)01054-8

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나이에 따른 최대심박수

Age-predicted Maximal Heart Rate

 

연구의 목적과 방법

심박수는 심혈관 기능 및 자율신경계의 상태를 보여주는 가장 기본적인 생체 지표로, Tanaka 외 연구자들은 나이에 따라 최대 심박수가 어떻게 변화하는 지 주목하였다. 운동생리학에서는 오랫동안 다음과 같은 공식을 사용했다.

위의 식은 나이에 따른 최대심박수의 일반식으로 나이가 증가할 때마다 최대 심박수가 일정한 양만큼 감소함을 예측한다. 그러나 위 방정식에 관한 타당성 검증에 고령자 데이터가 충분하지 않은 점은 오랜 시간 한계로 지적되어 왔다. 그래서 Tanaka 연구팀은 위의 방정식 대신 새로운 수식을 만들기 위해 대규모의 데이터를 수집, 분석했다.

• 수집: 351개의 연구에서 492개 그룹, 18,712명의 피험자를 대상으로 한 최대심박수(HR_max)의 평균값[그림 1]
• 검증: 신규 방정식은 514명의 건강한 피험자를 대상으로 실험실 조건에서 HR_max 값을 교차 검증(cross-validated)

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그림 1. 나이, 성별에 따른 최대심박수 분

 

 

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연구 결과와 해석

그림 2. 최대 심박수와 나이의 상관관계: 점선은 '220-(나이)'의 전통적인 공식을 따르는 반면, 실선은 다나카가 제시한 새로운 공식을 나타낸다.

 

 

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연구 방법에서 cross-validated를 위해 수행한 건강한 성인 남녀의 최대심박수는 다음과 같은 식으로 예측할 수 있다고 한다.

<기호>

• x: 나이, 년(年, year) 단위
• H(x): 1분 동안의 최대 심장 박동수(beats per minute, bpm)

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위 식은 논문에서 다나카 외 연구진들이 도출한 새로운 공식으로 [그림 2]에서는 실선과 같이 그 값이 나타난다.

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[그림 2]의 그래프는 다음과 같이 해석할 수 있다.

1. 나이에 따른 최대심박수 그래프는 일정한 음의 기울기를 갖는다.
2. 음의 기울기 직선에 관한 함수식은 H(x)=208-(0.7×(year))이다. ⇒ linear function이다.

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H(x)=-0.7x+208

• 기울기: -0.7
• y절편: 208

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3. 나이가 증가할 수록 최대 심박수는 linear하게 감소한다.

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나이에 따른 최대심박수의 변화율은 상수 값이다.

나이에 대한 최대심박수의 변화율을 구하기 위해서 (1)상수함수의 도함수와 (2)거듭제곱 법칙을 활용한다.

• H(x)의 두 항에 대해 상수항은 (1)의 미분법을 0.7x에 대해서는 (2)의 미분법을 사용한다.

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dH(x)/dx: 나이에 대한 최대심박수의 변화율 ⇒ 나이가 1년 증가할 때마다 최대 심박수는 어떠한 경향으로 얼마만큼 변하는가

 

즉, dH(x)=dx=-0.7이며 이는 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 현재 나이가 몇 살이든 상관없이 최대 심박수의 감소율은 매우 일정하다.
• 나이가 1년씩 증가할 때 마다 최대 심박수는 0.7bpm만큼 감소한다. ⇒ 나이를 10년간 먹을 때마다 최대 심박수는 7bpm씩 감소한다.

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