【미분적분학 노트】 09. 미분법: 곱미분, 몫미분, 연쇄법칙 (feat. 곱미분, 몫미분, 연쇄 법칙 증명)

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곱미분(곱법칙)

Product Rule (PR)

 

함수가 곱해진 경우를 미분하는 방법에 대해 생각해보자. 예를 들어 f(x)=x^5를 다음과 같이 분해할 수 있다.

위 식에서 각각의 항에 대해 거듭제곱 법칙을 사용하면 먼저 우변 x^5는,

로 계산할 수 있을 것이다. 한편, 좌변은,

로 계산할 수 있는데, 이를 곱하면,

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이 될 것이고, 이는 우변의 미분값인 5x^4와는 전혀 다른 값이다. 이는 즉, 함수의 곱을 미분할 때는 다른 법칙이 적용되어야 함을 말한다.

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곱의 미분법: 곱법칙

함수 h(x)=f(x)g(x)이고, f(x), g(x)가 모두 x에 대해 미분가능하다면, 다음과 같은 곱법칙(product rule, PR)이 성립한다.

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곱미분(곱 법칙)

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두 함수의 곱의 도함수는 앞의 함수에 뒤의 함수의 도함수를 곱한 값에, 뒤의 함수에 앞의 함수의 도함수를 곱한 값 둘을 더한 것과 같다.

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만약 f(x)=u, g(x)=v로 두면,

 

라고 쓸 수도 있다.

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PROOF. 곱미분

 

그림 1. h(x)=f(x)g(x) 도형

 

[1] h(x)=f(x)g(x)는 두 함수의 곱으로, 마치 변의 길이가 f(x), g(x)인 직사각형의 넓이[그림 1]로 생각할 수 있다.

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[2] 도함수를 구하기 위해 먼저 h(x+Δx)를 계산하면,

이다. 여기서 h(x+Δx)는 [그림 1]의 영역 1, 영역 2를 포함한 큰 직사각형 넓이와 같다.

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[3] 도함수 계산을 위해, h(x+Δx)-h(x)를 구하면 다음 식을 따른다.

[4] [과정 3]의 결과 값에 Δx를 나누고 극한값을 취하면,

로 적을 수 있다.

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[5] [과정 4]의 결과에 대해 f'(x)와 g'(x)가 존재하고, 또한 f(x)가 x에서 연속이라는 사실을 활용하면,

로 식을 분리할 수 있고, 위의 마지막 항인 lim_Δx→0[f(x+Δx)]는,

로 풀이되므로 곱미분은 최종적으로,

이 된다.

 

몫미분(몫법칙)

Quotient Rule (QR)

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한편, 몫법칙(quotient rule, QR)은 두 함수를 나누어 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법이다.

• QR을 활용하면 두 함수의 몫(나눗셈 형태의 함수)의 도함수를 구할 수 있다.
• 의미: 하나의 함수를 다른 함수로 나눈 형태의 함수의 미분을 구하는 법칙

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몫 법칙은 특히 유리함수의 도함수를 구할 때 매우 유용하다.

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몫의 미분법: 몫법칙

함수 h(x)=f(x)/g(x)이며, g(x)가 0이 아니며, f'(x), g'(x)가 모두 존재할 때,

몫미분(몫법칙)

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몫법칙의 증명은 연쇄법칙을 우선 학습한 뒤에 두 법칙의 증명을 한꺼번에 다룬다.

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연쇄법칙

Chain Rule (CR)

 

연쇄법칙(chain rule, CR)은 합성함수(composition of two functions)를 미분하는 방법이다.

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만약,

와 같은 함수를 미분한다고 하면, 지금까지 배운 미분공식으로는 이를 풀이할 수 없을 것이다. 이때 y=f(u)=5√u, u=g(x)=x^3+1로 두면, y=F(x)=f(u)=f(g(x))의 꼴로 고쳐쓸 수 있을 것이다.

함수 g가 x에서 미분가능하고, 함수 f가 y=g(x)에서 미분가능하다면, 합성함수 fg(x)=f[g(x)] 또한 x에서 미분 가능하다.

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연쇄법칙

f와 g가 모두 미분가능하고 F=fg일 때, F는 미분가능이고, F'은 다음과 같다.

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연쇄법칙 풀이

F가 합성 함수일 때, 합성된 함수 g(x)는 안쪽 함수(inner function), f(x)는 바깥 함수(outer function)라 정의한다.

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두 함수를 정의한 이후, 연쇄법칙의 풀이는 다음과 같다.

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[1] 바깥 함수 f를 미분한다. ⇒ f'( )

[2] 그 결과를 안쪽 함수 g에 대입한다. ⇒ f'(g(x))

[3] 여기에 안쪽 함수의 도함수 g'(x)를 곱한다.

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즉, 바깥 함수 미분, 안쪽 함수 넣기, 안쪽 함수 미분 후 곱하기의 3단계를 따른다.

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PROOF. 몫미분

[1] h(x)=f(x)/g(x)를 다음과 같이 바꾸어 생각할 수 있다.

[2] [과정 1]의 g(x)^-1은 합성함수의 형태이다.

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[3] h(x)에 PR을 적용한다.

[4] [과정 3]의 d[g(x)^-1]/dx는 다음과 같이 분석된다.

• 안쪽 함수는 u=g(x), 바깥 함수는 u^-1이다.

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[5] 연쇄법칙 풀이

[6] [과정 3]의 식에 [과정 5]의 결과를 대입한다.

[7] 공통분포 g(x)^2로 정리한다.

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PROOF. 연쇄 법칙

[1] 함수 h(x)=f(g(x))로 설정하고, 도함수 정의를 활용한다.

[2] 중간 변수 Δg를 도입하면,

식은 극한 식은 다음과 같이 정리된다.

[3] 위의 극한 식을 아래와 같이 변형하는데, 분자와 분모에 모두 Δg가 들어가 있으므로 [과정 2] 식과 결과는 동일하다.

다만 극한 식을 위와 같이 변형하면, 결과 값을 아래와 같이 분리할 수 있다.

1. 첫 번째 분리: f'(g(x))
2. 두 번째 분리: g'(x)

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[4] 따라서 극한 식을 분리하면 연쇄 법칙과 동일하다.