【물리학을 위한 수학】 01. 기준계와 좌표계

​

물리학의 여러 가지 문제 상황은 공간 상에서의 위치 표현으로부터 시작되며, 이를 위하여 기준계와 좌표계를 최초로 배운다.

• 기준계(基準系, reference system, reference frame): 기준틀, 어떤 물체의 운동을 숫자로 대응할 기준을 제공하는 프레임(틀)
• 좌표계(座標系, coordinate system): 물체의 위치를 숫자로 표시할 좌표(coordinate)를 사용하는 체계

​

 

기준계와 좌표계

Reference Frame and Coordinate System

 

기준계와 좌표계는 해석역학에서 확실히 구분되는 개념으로 상세한 내용은 아래와 같다.

​

기준계

기준계는 물체의 운동을 숫자로 대표할 기준을 제공하는 틀로 물리학에서는 관성 기준계, 질량중심 기준계, 오른손 기준계 등이 자주 사용된다. 기준계 틀은 원점과 좌표축을 최초로 정함으로써 설정되는데, frame 설정 절차[그림 1]는 다음과 같다.

​

[1] 원점 설정

[2] 좌표축 설정

[3] 좌표축의 (+)방향 설정

[4] 좌표축의 눈금(scale) 설정

​

그림 1. 1차원, 2차원 기준계 설정

 

 

1차원 상에서 reference frame의 (1)원점은 선 위의 적당한 지점(x=0)이 되며, (2)원점의 오른쪽을 (+)방향으로 정한다. 한편 2차원 상에서 frame의 (1)원점은 (x, y)=(0, 0)이 되는 지점으로, (2)원점 위, 오른쪽을 (+)방향으로 정한다.

​

그림 2. 3차원 기준계 설정

 

3차원 기준계는 [그림 2]와 같이 오른나사(오른손) 기준계가 많이 쓰이며, (+)축은 각각 (1)지면을 뚫고 나아가는 쪽, (2)오른쪽, 그리고 (3)위쪽이 된다.

​

​

좌표계

좌표계란, 특정 공간에 숫자나 기호를 써서 위치를 표기하는 일련의 방식으로 이 때 위치를 지정하는 숫자나 기호는 좌표가 된다.

​

물리학에서 중점적으로 다루는 좌표계는 2차원에서는 (1)데카르트 좌표계(직각평면좌표계)와 (2)극좌표계이며, 3차원에서는 (1)직각좌표계, (2)원통좌표계, 그리고 (3)구좌표계이다.

​

2차원 좌표계

그림 3. 직각좌표계와 극좌표계

 

2차원 좌표계는 직각평면좌표계와 극좌표계[그림 3]가 있다.

• 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system): 원점 O(0, 0)을 기준으로 오른쪽 위부터 반시계방향으로 제1, 제2, 제3, 제4사분면으로 나뉘는 좌표계, 임의의 점 P에서 coordinate는 (x, y)로 주어진다.
• 극좌표계(polar coordinate system): 극점(pole) O을 기준으로 (1)pole로부터 떨어진 거리 r과 (2)극점을 지나는 기준선에 대한 각도(반시계 방향) θ로 위치를 표현한다.

​

3차원 좌표계

그림 4. 직각좌표계

 

3차원 좌표계의 가장 직관적인 예로 직각좌표계[그림 4]가 있다. 3차원 상에서 coordinate는 (x, y, z)로 주어지며, 상황에 따라 오른손 직각좌표계와 왼손 직각좌표계로 구분되기도 한다.

​

그림 5. 원통좌표계

 

극좌표계에 한 개의 차원을 더 추가하여, z축 방향으로 잡아 늘리면 원통좌표계(cylindrical coordinate)[그림 5]가 된다. polar coordinate system의 r은 원통좌표계의 ρ과 정확히 그 의미가 일치하며, 마찬가지로 세 개의 좌표가 있어야 하기 때문에 P=(ρ, φ, z)로 쓸 수 있다.

• 극좌표계의 세타 θ를 파이로 φ 고쳐쓴다.

​

그림 6. 구좌표계

 

마지막으로 구(면)좌표계(spherical coordinate system)[그림 6]은 (1)원점에서의 거리 r, (2)방위각 θ, (3)천정각 φ를 좌표로 사용하여 위치를 표현한다.

​

위치벡터, 변위벡터, 속도벡터, 가속도벡터

Position, Displacement, Velocity, and Acceleration Vector

 

어떤 물질의 움직임을 표현하기 위해서는 4가지의 벡터로 표현되어야 하며, 각각의 정의는 다음과 같다.

1. 위치벡터: 기준계의 원점에서 물체가 있는 위치까지 그린 벡터
2. 변위벡터: 물체의 처음 위치 r에서 나중 위치 r'까지 그린 벡터
3. 속도벡터: 물체가 Δt동안 변위 Δr만큼 이동했을 때의 빠르기 벡터
4. 가속도벡터: 물체가 Δt동안 속도 Δv만큼 변했을 때, 시간에 따른 속도의 변화량 벡터

​​

차분과 미분

변위 벡터부터 등장하는 Δ는 나중 값에서 처음 값을 빼라는 의미의 '차분'(difference)이다. 그리고 이 변화량을 순간(양)을 미분(differential)이라 한다.

​

미분 dx의 중요한 성질 중 하나로 dx^2은 0으로 계산된다. ⇒ 무한소 참고

​

위치벡터와 변위벡터

그림 7. 위치벡터

 

위치벡터는 기준계의 원점으로부터 물체가 있는 위치까지 최단거리로 그은 벡터로 만약 기준계가 [그림 7]과 같이 서로 다르면, 그 크기도 서로 다르다.

​

그림 8. 변위벡터

 

​

한편 변위벡터는 물체의 나중 위치에서 처음 위치로 벡터차를 한 벡터 값으로 기준계의 원점이 바뀌어도 그 값이 바뀌지 않는 특성[그림 8]이 있다.

​

평균속도와 순간속도

평균속도는 Δr/Δt로 계산되었다. 그리고 이 차분을 미분으로 바꾸면 '순간속도'(벡터)를 구할 수 있다.

평균가속도와 순간가속도

평균가속도는 Δv/Δt로 계산한다. 그리고 이 차분을 미분으로 바꾸면 '순간가속도'(벡터)를 구할 수 있다.