【물리학을 위한 수학】 04. 좌표변환 - 3차원 좌표계

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이전 【좌표변환 - 2차원 좌표계】 에서 우리는 직선, 평면좌표계의 벡터에 대해 공부했다.

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【물리학을 위한 수학】 02. 좌표변환 - 2차원 좌표계

 

 

각 차원 좌표계에서 단위벡터를 활용해 (1)위치벡터, (2)변위벡터, (3)속도벡터, (4)가속도벡터를 구했다. 마찬가지로 세 가지의 3차원 좌표계에서도 같은 벡터량들을 구할 수 있다.

1. 직교좌표계
2. 원통좌표계
3. 구좌표계

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직교좌표계

Cartesian Coordinate System

 

그림 1. 직각좌표계

 

 

 

3차원의 Cartesian 좌표계는 [그림 1]과 같이 특정한 P점에 대해 (x, y, z) 좌표 값을 갖는다.

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직교좌표계의 벡터 값은 다음과 같다.

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직교좌표계 벡터량

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원통좌표계

Cylindrical Coordinate System

 

그림 2. 원통좌표계

 

원통좌표계[그림 2]는 2차원 극좌표계의 확장형으로, 수식적으로는 Cartesian 좌표계와 spherical 좌표계의 중간 지점에 있다.

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그림 3. 원통좌표계의 좌표

 

원통좌표계의 3가지 좌표 의미는 아래와 같다.

1. ρ: 또는 [그림 3]의 r⊥, xy평면으로 투영했을 때의 반지름
2. φ: xy평면상의 방위각(azimuthal angle)
3. z: Cartesian coordinate system의 z와 같은 값

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원통좌표계의 벡터량은 극좌표계의 같은 내용에 z항을 추가한 것과 같다. 우선 극좌표계의 벡터량은 아래와 같이 구하였다.

 

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이 극좌표계 벡터량에 z항을 추가하면 다음과 같이 벡터량 식을 정리할 수 있다.

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원통좌표계 벡터량

 

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또한 단위변환의 측면에 있어서, Cartesian과 cylindrical은 아래와 같이 항이 변화한다.

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Cartesian을 활용한 원통좌표

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원통좌표를 활용한 Cartesian

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구좌표계

Spherical Coordinate System

 

그림 4. 구좌표계

 

 

 

구좌표계 또는 구면좌표계는 위치벡터 r의 집합이 구면을 형성하는 좌표계로 3가지 좌표는 아래와 같다.

1. r: 원점으로부터의 거리
2. θ: 양의 z축으로부터 내려오는 극각(polar angle)
3. φ: xy평면 위의 투영 벡터가 x축과 이루는 방위각(azimuthal angle) ⇒ 원통좌표계의 방위각과 정확히 일치

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그림 5

 

구좌표계에서의 벡터량들을 구하기 위해, [그림 5]의 정보를 활용하여 원통좌표계와 구좌표계의 단위벡터들을 직교좌표계 단위벡터로 표현해야 한다.

 

원통좌표계 단위벡터 변환

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구좌표계 단위벡터 표현

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위의 내용을 종합하면 구좌표계의 단위벡터들을 직교좌표계 단위벡터로 변환하여 표현할 수 있다.

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이들 단위벡터를 미분하면 다음과 같이 계산된다.

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위의 단위벡터와 그 미분값들을 통해 아래 벡터량을 구할 수 있다.

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구좌표계 벡터량

 

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원통좌표계와 마찬가지로 구면좌표계 또한 Cartesian을 활용하여 그 값을 변환할 수 있다.

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Cartesian을 활용한 구좌표

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구좌표를 활용한 Cartesian

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