【물리학을 위한 수학】 02. 좌표변환 - 2차원 좌표계

 

단위벡터

Unit Vectors

 

단위벡터(unit vector): 벡터 a의 단위벡터란, 벡터 a와 방향은 같고 크기가 1인 벡터[그림 1]

• x, y, z축에 대해 각각 단위벡터 x, y, z 또는 단위벡터 i, j, k로 표기한다.
• 단위벡터의 크기는 그 종류와 상관없이 항상 1로 둔다.
• 단위벡터의 꺽쇠 모자를 햇(hat)이라 한다.

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그림 1. 단위벡터와 그 크기

 

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벡터 a의 단위벡터와 벡터와의 관계는 다음과 같다.

2차원의 좌표계에서 단위벡터는 다음과 같다.

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직각좌표계

그림 2. 직각좌표계에서 단위벡터

 

데카르트 좌표계에서 지점 P에서의 단위벡터[그림 2]는 다음과 같다.

• hat x: y는 일정하게 유지한 채 x만 증가하는 방향을 갖는 x 단위벡터
• hat y: x는 일정하게 유지한 채 y만 증가하는 방향을 갖는 y 단위벡터

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극좌표계

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그림 3. 극좌표계에서 단위벡터

 

극좌표계에서 지점 P에서의 단위벡터[그림 3]는 다음과 같다.

• hat r: θ는 일정하게 유지한 채 r만 증가하는 방향을 갖는 단위벡터
• hat θ: r은 일정하게 유지한 채 θ만 증가하는 방향(원의 접선방향)을 갖는 단위벡터

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내적(점곱)

그림 4. 내적

 

내적(dot product): 점곱, 스칼라곱, 두 벡터를 곱하는 한 가지 방법으로 [그림 4]와 같이 두 벡터를 곱해준다.

• 내적의 결과는 스칼라량으로 스칼라곱으로도 불린다.
• 두 벡터의 각도가 평행일 때 cos0=1이므로 최댓값이 계산된다.
• 두 벡터의 각도가 수직이면 cos90=0이므로 0으로 계산된다.

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직각좌표계와 극좌표계에서의 단위벡터 내적은 다음과 같다.

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직교좌표계의 특징

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2차원 좌표계에서의 단위벡터

그림 5. 2차원 좌표계에서의 단위벡터

 

 

 

[그림 5]와 같이 평면 상에서 직각좌표계와 극좌표계의 단위벡터는 서로 상대의 단위벡터로 계산이 가능하다.

직각좌표계 단위벡터로 적은 극좌표계 단위벡터

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극좌표계 단위벡터로 적은 직각좌표계 단위벡터

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직선, 평면 좌표계에서의 벡터

Vectors on a Line and Plane

 

1차원의 직선 좌표계에서 (1)위치벡터, (2)변위벡터, (3)속도벡터, (4)가속도벡터를 구해보자. x축의 1차원을 가정하면 각각의 값은 아래와 같다.

 

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그림 6. 2차원 직각좌표계

 

2차원 직각좌표계[그림 6]의 4가지 벡터를 구해보자.

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직각좌표계에서 속도의 성분은 x성분은 x좌표만으로, y성분은 y좌표만으로 그 값이 정해진다.

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그림 7. 2차원 극좌표계

 

한편 2차원 극좌표계[그림 7]의 4가지 벡터는 다음과 같이 구한다.

 

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극좌표계에서의 가속도 벡터는 속도벡터를 시간으로 미분하여 구할 수 있다.

 

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가속도벡터를 구할 때 단위벡터의 미분 계산이 자주 나오는데, 아래에서 극좌표계의 단위벡터 미분식을 구하는 절차를 확인하자. 우선 극좌표계의 단위벡터를 미분하기 위한 사전 지식은 다음과 같다.

 

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다음 단위벡터 r과 θ의 미분식을 구한다.

 

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같은 식으로 dθ를 풀면,

 

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이 된다.