【물리학을 위한 수학】 09. 벡터미적분학 - 발산 정리

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발산 정리(發散 定理, divergence theorem): 벡터장 선속(flux)는 그 발산의 삼중적분과 같다

• 폐곡면 위의 면적분을 계산할 때 매우 유용하다.

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벡터장선과 벡터선속

Vector Field Line and Flux

 

그림 1. 벡터장선과 벡터선속 [출처: University Physics Volume 2, OpenStax, 2016, p.215]

 

벡터장선(vector field line): 벡터장에 그려진 개별적인 선, [그림 1]의 빨간 선

• 모든 벡터는 벡터장선의 형태로 표현 가능하다.
• 어떤 위치에서 벡터장의 방향은 그 위치에서의 벡터장선의 접선방향과 같다.
• 어떤 위치에서 벡터장의 크기는 그 위치(면적)에서의 flux에 비례[그림 2]한다.

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그림 2. 특정 지점의 벡터장 크기는 벡터장선의 밀도에 비례한다.

 

 

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벡터선속(vector field flux): 벡터장 선속, 또는 선속(flux), 벡터장에 놓은 면을 지나는 벡터장선의 개수에 비례하는 양, 임의의 면적 S에 대한 다발(bundle) 형태로 그려진다.

• 선속(線束, flux): 특정한 면적을 통과하는 특정한 물리량의 흐름 ⇒ 특정 물리량이 되는 대상은 전기장, 자기장, 유체, 열 등 흐름의 형태[그림 3]를 갖는다.

 

그림 3. 벡터장으로 나타난 유체의 흐름

 

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벡터장의 크기를 F라 두었을 때, F는 그 위치에서의 flux에 비례한다고 하였다. 즉, 특정 면에 대한 흐름의 밀도 관점에서, 벡터장은 [그림 1]과 같이 벡터장에 놓인 면 S에 대해 'S당 지나는 flux의 크기'라 정의할 수 있다.

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벡터장

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<물리량>

• F: 벡터장
• Φ: 벡터장선의 개수
• S_⊥: 벡터장선에 수직한 면의 면적(area)

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Flux

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벡터장은 면에 대해서는 그 방향에 수직(⊥)할 때, 면벡터에 대해서는 그 방향이 평행할 때 가장 큰 값을 갖는다.

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면에서의 법선벡터(면벡터)

Normal Vector on a Surface

 

그림 4. 면벡터

 

[그림 4]와 같이 어떤 가상의 면이 있다고 할 때 면이 갖는 법선벡터(normal vector)는 국소적인 영역 S에 대해 파란색 화살표와 같이 나타낸다. 이 normal vector의 크기와 방향은 다음과 같다.

• 크기: 면의 넓이
• 방향: 면에 수직한 방향

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특히 면에 수직한 방향은 단위벡터 개념을 활용하여 [그림 5]와 같이 hat n으로 표현한다.

그림 5. 국소영역 S에서의 면벡터와 수학적 정의

 

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따라서 면벡터의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

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면벡터

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벡터장의 최댓값

그림 6

 

벡터장의 한 가지 예로 전기장 E가 [그림 6]와 같이 지나갈 때 임의의 파란색 면을 경사지게 설정하면, 전기장 E와 수직하지는 않지만, 비스듬한 각도 θ를 두고 단위벡터 n_2를 지정할 수 있다. 벡터장은 면벡터에 대해서 평행할 때 가장 큰 값을 갖는데, 비스듬한 각도를 두고 다음과 같은 관계식을 쓸 수 있다.

여기서 단위벡터 n_1은 벡터장의 크기가 항상 최대값인 벡터장과 평행한 단위벡터를 뜻한다.

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면적소에서의 벡터장 선속

 

그림 7

 

 

임의의 면에 대해 [그림 7]과 같이 면적소(area element)를 나누었을 때, 이 면을 통과하는 flux는 벡터장의 크기 식을 통해 아래와 같이 구할 수 있다.

• 면적소: 임의의 면에 대한 국소지역의 면적

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면적소 Flux

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벡터장의 최댓값에서 다룬 단위벡터의 관계식을 활용해 flux를 벡터장과 면벡터의 내적한 값으로 정의할 수 있다. 또한 비록 균일하지 않은 벡터장이라도, 면을 매우 잘게 나누면, 그 미분된 면에 한하여서는 벡터장이 균일하다고 가정할 수 있다.

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면적소 dS를 통과하는 벡터장 선속을 위와 같이 쓸 수 있는데, 이를 전체 면적으로 확장하면 면적분(surface integral)을 해주면 된다.

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면 Flux

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즉, 면에 대한 flux는 flux를 감싼 표면의 형태에 의해 결정된다.

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발산 정리

Divergence Theorem

 

위의 사고 과정을 통해 우리는 (1)flux가 벡터장과 면벡터의 내적이고, 이들 전체 값은 (2)(폐)곡면의 적분임을 확인했다.

• 폐곡면: 면의 가장가지가 모두 연결된 면

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그리고 이 flux는 divergence의 부피적분 값과도 같은데, 아래에서 이를 증명하겠다.

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발산 정리

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발산정리의 증명

[그림 8]과 같이 여덟 개의 정육면체가 쌓여있다고 할 때 유체의 흐름은 (1)서로 육면체가 마주하지 않는 면에서는 통과, (2)안쪽끼리 맞닿은 면에서는 상쇄된다. 따라서 표면적에 대해서 flux를 모두 구하면 다음과 같다.

그림 8

 

위는 8개의 정육면체가 갖는 면에 대해 모두 flux를 계산하는 식이다. 이때 8개의 정육면체를 미지수 n의 개수로 무한히 늘리면 아래와 같이 식이 변한다.

 

 

그림 9. 임의의 정육면체 S_k

 

 

 

시그마 내부의 항은 어떠한 미소부피로부터 빠져나간 유량으로 [그림 9]와 같이 x, y, z축으로 알짜유량이 존재하는 부피소(volume element) S_k를 모두 더하는 식으로 전체 flux를 구할 수 있다.

 

 

위의 두번째 식에서 두 가지 값을 고쳐쓸 수 있다.

1. 부피소의 미소길이 dx, dy, dz를 모두 곱하면 미소부피 dV가 된다.
2. 괄호 안 편미분 항은 직교좌표계의 divergence 값이다.

 

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