【물리학을 위한 수학】 14. 적용: 사망시각의 추정 (변수분리형 미분방정식)

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법의학(法醫學, forensic science)에서는, 살인 사건 현장에서의 시체 체온과 주변 온도가 어떻게 변하는 지 이해함으로써 사망 또는 살해 시간을 추정할 수 있다. 그리고 이때 쓰이는 가장 기본적인 수학적 모델이 바로 뉴턴의 냉각법칙(Newton's law of cooling)이다.

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살인사건에서 검시관에서 주어지는 데이터는 크게 다음과 같다.

1. 사체는 생물의 항상성이 깨진 상태로, 체온이 주변 기온과 같은 온도가 될 때까지 열에너지를 계속 방출할 것이다.
2. 피살자는 대개 섭씨 25도씨의 방에 있고, 사망 전까지는 정상적인 체온(섭씨 37도씨)을 유지한다고 가정한다.

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사망 후 체온하강

Postmortem Body Cooling

 

뉴턴의 냉각법칙에 앞서 우선 인체의 일반적인 체온 하강에 대해 논의하기 위해 아래 논문을 참고하였다.

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출처: Time of Death Estimation from Temperature Readings Only: A Laplace Transform Approach (Marianito R. Rodrigo, 2014)

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그림 1. 신체 냉각시 시그모이드 함수 [출처: Estimation of the Time since Death in the Early Post-mortem Period ( Henßge, M adea, 2004)]

 

 

사망 후 인체의 체온 하강은 [그림 1]과 같이 시그모이드 함수를 그린다. 시그모이드 함수에 따르면 사망 직후의 체온은 비교적 천천히 감소하는데, 이는 크게 두 가지 물리적 요인을 포함한다.

1. 사망 후에도 생성하는 장기의 잔여 열생산
2. 신체의 열전도율과 열용량

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특히 신체의 열전도에 있어서 냉각은 (1)신체에서 표면적이 비교적 작은 피부 표면에서의 대류(convection) 때문이며, 사망 직후 체온이 천천히 감소하는 것은 (2)피부보다 표면적이 넓은 여러 신체층(body layers)이 신체 중심부의 열을 안정적으로 전도(conduction)하기 때문이다.

• 체온은 [그림 2]와 같이 구획(compartment)화가 가능하고, 열에너지의 흐름은 온도가 높은 영역에서 낮은 영역으로 일방향성을 갖는다.
• 신체의 온도 항상성은 구획 내의 체온 보존되는 형태로 열에너지가 지속적으로 흐르는 상태를 뜻한다.

그림 2. 구획화된 신체 온도

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뉴턴의 냉각법칙

Newton's Law of Cooling

뉴턴의 냉각법칙이란, 어떤 물체의 온도는 주변 온도의 차이에 비례하는 속도로 열에너지를 방출한다는 것이고 수식으로 다음과 같이 나타낸다.

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뉴턴의 냉각법칙

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<물리량>

• T(t): 시간 t가 지난 후의 시체의 온도
• T_s: 주변환경(surroundings)의 온도 ⇒ 대개는 일정하다고 가정한다.
• k: 냉각비율 상수

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즉, 온도의 변화율이란 주변 온도와의 차이에 비례하게 발생한다는 것으로 cooling law는 변수분리형 미분방정식에 해당한다.

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변수분리형 미분방정식의 풀이법에 따라 우선 T 해(solution)를 구해보자.

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[1] 변수 분리

[2] 양변 적분

[3-1] 계산: 지수함수 적용

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[3-2] 계산: 부정적분 상수 C 구하기 (초기조건 활용)

여기서 t는 시간(단위: 분)으로 만약 t=0일 때를 계산하면 다음과 같이 식을 고쳐쓸 수 있을 것이다.

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부정적분을 통해 나온 적분 상수는 T(t=0)-T_s (사망 직전의 체온에서 주변환경의 온도를 뺀 값)와 같다.

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[4] 결과: 해

T(t=0)을 T_0라 둘 때, 적분 상수를 포함한 해 T는 다음과 같이 구할 수 있다.

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사망추정시간(사망 후 경과시간)

미분방정식의 해인 T(t)는 경과시간 t후에 사망자의 온도에 해당한다. 시간 t 후의 측정 온도를 T_m이라고 하였을 때, 식은 우선 아래와 같이 고칠 수 있다.

여기서 t[단위: 분]가 바로 사망 후 경과시간으로 이것을 풀기 위해서 e^-kt항을 따로 빼낸다.

다음 양변에 자연로그를 취한다.

마지막으로 여기서 t를 구하기 위해 다시 양변에 -(1/k)를 곱해주면, 사망 후 경과시간을 구하는 일반식이 나온다.

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사망 후 경과시간

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• k: 경험적 냉각상수
• T_m: 사망 후 시간 t만큼 지났을 때의 시체의 온도
• T_s: 주변 온도
• T_0: 사망 직전 체온(일반적으로 사람은 섭씨 37도로 측정된다.

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경험적 냉각상수 구하기

만약 25도씨의 방안에 35도씨의 사체를 처음 발견하였고, 이후 80분 뒤에 32도씨로 떨어진 경우, 경험적 냉각상수 k를 다음과 같이 구할 수 있다. (단, 인간의 사망 전 정상체온은 섭씨 37도로 가정한다.)

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이를 사망 후 경과시간에 넣으면 사체를 처음 발견한 시간으로부터 사망 후 경과시간을 추정할 수 있다.

 

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시간은 분 단위였기 때문에, 즉 사망 후 경과시간을 약 80.3분이라 계산할 수 있다.