【물리학을 위한 수학】 17. 1계 선형 미분방정식

 

1계 선형 미분방정식의 형태

Form of 1st Order Linear Differential Equation

​

1계 선형 미분방정식(first order linear DE): 종속변수가 한 번 미분이 되고, 종속변수와 그 도함수의 계수가 독립변수에만 의존하는 미분방정식

 

만약 위와 같은 식이 있을 때, 이는 1계 선형미분방정식의 형태를 만족한 것인데, 1계 선형미분방정식의 형태는 다음과 같다.

 

• y=y(x)는 미지의 함수이다.
• P(x)와 Q(x)는 연속 함수이다.
• 미분계수 y'와 y는 선형적으로 포함된 형태이다.

​

위의 식에서 Q(x)=0이라면 동차방정식, Q(x)≠0이라면 비동차방정식이라 한다.

• 또는 Q(x)=0인 식을 제차(homogeneous), Q(x)≠0인 식을 비제차(non-homogeneous) 1계 선형미분방정식이라도 부른다.

​

동차 1계 선형미분방정식

y'+P(x)y=Q(x)에서 Q(x)=0이라면 이는 동차 1계 선형미분방정식이라 한다.

​

동차 1계 선형미분방정식의 형태

 

 

■

​

동차 1계 선형미분방정식의 일반해는 아래와 같은 과정을 통해 풀이한다.

​

[1] P(x)y를 우변으로 넘기기

 

 

[2] 변수분리형 방정식으로 고치기

 

 

[3] 일반해 y 구하기

변수분리형 방정식에서 일반해를 구한 것과 마찬가지로 위의 식을 최종적으로 y에 대해 풀면 다음과 같이 계산된다.

​

• 양변 적분

• 양변 지수함수

동차 1계 선형미분방정식의 해

■

​

<물리량>

• C: 임의상수

​

예를 들어, y'+3y=0이라는 동차 1계 선형미분방정식이 있다고 하자. 여기서 P(x)는 3이고, 따라서 일반해는 아래와 같이 매우 쉽게 구해진다.

한편 y'+2xy=0과 같은 동차 1계 선형미분방정식이 주어졌을 때, P(x)=2x이고,

로 일반해 계산이 가능하다.

​

비동차 1계 선형미분방정식

한편 Q(x)가 0이 아닌 경우, 이는 비동차 미분방정식이라 하며, y'+P(x)y=Q(x)는 특별히 비동차 1계 선형미분방정식이라 한다.

​

비동차 1계 선형미분방정식의 형태

■

위와 같은 식의 일반해는 아래와 같이 푼다.

​

[1] 적분인자(integrating factor)

비동차 1계 선형미분방정식의 형태의 모든 항에 적분인자라는 특수한 값을 곱한다.

 

 

위의 적분인자를 형태의 모든 항에 곱하면,

 

​

 

과 같이 계산된다.

• 좌변을 미분하기 위하여 곱함수미분법을 활용했다.

​

[2] y(x)에 대해 풀이

적분인자를 모든 항에 대해 곱해줌으로써 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.

이제 이 식의 양변을 다음과 같이 적분한다.

마지막으로 식을 y(x)에 대해 풀어주면, 비동차 1계 선형미분방정식의 해를 구할 수 있다.

​

비동차 1계 선형미분방정식의 해

■

만약 y'+y=x와 같은 비동차 1계 선형미분방정식을 예로 들면, 풀이 후 최종 해는 다음과 같이 계산된다.

​

[1] 적분인자

위와 같이 구해진 적분인자를 주어진 식의 양변에 곱해준다.

식의 좌변은 곱의 미분과 같이 떄문에, 식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

[2] y(x)에 대해 풀이

좌변을 곱의 미분 식으로 변경했기 때문에, 식의 양변을 다음과 같이 적분한다.

비동차 1계 선형미분방정식의 해를 구해줘야 하기 때문에, 최종 값은 다음과 같다.