음향(acoustic)이란 무엇인가?
- 그리스어 ‘듣다(akouein)’에서 유래한 단어로, 기계적 진동에 의한 음파 효과 및 음질을 가리킴
- 음향학(acoustics): 물질입자의 진동에 의해 파동에너지가 발생할 때, 전달, 수신 등의 모든 물리적 현상을 연구하는 물리학의 세부분야
- 음향기기(acoustic apparatus): 음파를 전기적 신호로 변환하여, 전송, 기록, 재생하는 장치
- 음향기기에는 음원, 앰프, 필터, 스피커 등이 있고, 실내외 음향 공간을 포함하는 모든 시스템을 음향 시스템(acoustic system)이라 한다.
소리의 구성
① 음(tone): 단일 주파수(진동수) 만을 갖는 정현파(sinusoidal function; 삼각함수로 표현가능한 신호)
② 조성(tonality): 음조, 음색, 소리의 어우러짐 ⇒ 하나의 tone을 중심으로 일정한 음악적 관계를 갖는다.
③ 성조(pitch accent): 음의 높낮이(음고) 차이 e.g. 베트남어의 6성조(thanh dieu), 중국어의 4성조
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중국어의 4성조 도식
파동의 분류
- 파동(wave): 진동하여 공간 또는 매질을 전파해 나가는 비국지적(non-localization) 현상
· 질량의 이동은 없으나 에너지 및 운동량의 운반은 존재함
· 입자의 운동과 달리 실제 매질입자가 함께 움직이는 것은 아님에 유의!
· 매질 내의 인접 입자 간의 변위의 파(wave)가 전달되는 형태이며, 다양한 속도를 갖는다.
우선 매질(medium; 물리적 작용을 공간적으로 전달하는 매개)의 필요여부에 따라 파동은 다음과 같이 구분된다.
① 역학적 파동(mechanical wave): 매질이 필요한 파동, 뉴턴의 운동법칙에 의해 움직임이 해석되며, 물과 공기, 그리고 결정 같은 물질들의 매질 내에서만 존재한다. 일상에서 흔히 접하는 역학적 파동으로 수면파, 음파, 지진파 등이 있다.
② 전자기파(electromagnetic wave): 매질이 불필요한 파동, 주기적으로 세기가 변화하는 전자기장이 공간 속으로 전파해 나가는 현상, 진공조건(in vacuum)에서 전자기파는 매우 빠르게 전파된다.
파동의 형태로 나아간 에너지는 파원(wave source; wave 발생의 원천 또는 발생지점)으로부터 다른 곳까지 전달된다. 그러나 매개인 물질이 전달되는 것은 아니다.
전파되는 파동
기다란 끈을 한 쪽 벽면에 고정시키고 팽팽하게 잡은 상태에서 반대쪽을 한 번 흔들면, 한 개의 펄스(pulse; 극히 짧은 시간 동안 큰 진폭을 갖는 파동)가 생성되어 유한한 속력을 가지고 줄을 따라 이동한다.
· wave source: 손
· medium: 줄(줄의 작은 부피요소, 줄의 미소부피요소) cf. 줄을 구성하는 분자는 줄의 미소부피요소가 아니다.
· 줄의 각 요소가 평형위치(at equilibrium)로부터 흔들린다.
펄스는 일정한 높이와 일정한 진행속력을 갖는다. cf. 사실 펄스의 모양도 운동하는 동안 분산(dispersion)이라는 물리적 효과로 인해 점점 옆으로 퍼지게 되는데, 간단한 유도과정을 위해 여기에서는 dispersion의 효과를 고려하지 않는다.
펄스의 특성
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횡파와 종파
[University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.818]
파동의 진동 방향에 따라 파동을 다음과 같이 구분할 수 있다.
① 횡파(transverse wave): 매질의 요소가 파동이 전파되는 방향에 대해 수직인 방향으로 움직이는 진행파 e.g. 전자기파
② 종파(longitudinal wave): 매질의 요소가 파동이 전파되는 방향에 대해 평행한 방향으로 움직이는 진행파 e.g. 음파
참고로 지진이 발생하는 경우, 종파지진파(7~8km/s)가 횡파지진파(4~5km/s)보다 약 2km/s 정도 더 빠르다.
PROOF. 파동함수의 기술
[1] 시간이 0일 때(t=0), 펄스의 모양이 어떻든지 간에 파동은 수학적으로 다음과 같이 표현한다.
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- 의미: 시간 t=0일 때, 각각의 x값에 대한 줄의 횡(세로축) 위치 y
[2] 펄스의 속력을 v라고 두고 펄스의 모양이 시간과 관계없이 항상 일정하다고 가정하면, t초 후에 파동은 다음과 같은 식을 가진다.
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- 의미: 펄스가 vt의 거리만큼 ‘오른쪽’으로 이동한 상황
· y(x, t)에서 x는 t시간만큼이 지난 지점의 횡위치를 뜻한다.
· y(x-vt, 0): 시간 t일 때 수평지점 x에서의 줄의 요소 y값은, t=0일 때 수평지점 x-vt에서의 값과 같다.
y(x-vt, 0)는 ‘t=0일 때’를 기준으로 작성된 함수이다. 이 때문에 펄스가 전파되려던 시점인 t=0에서의 위치를 x-vt라고 적을 수 있다. 일반적으로 원점이 O인 정지 틀에서 오른쪽으로 움직이는 파동을 측정할 때, 모든 위치와 시간에서의 횡 위치 y는 다음과 같이 쓸 수 있다.
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같은 방법으로 펄스가 왼쪽으로 진행한다면, 모든 위치와 시간에서의 횡 위치 y는 다음과 같이 쓴다.
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파동함수(wave function)의 기술
- 의미: 오른쪽으로 일정한 속력 v를 가지고 이동하는 펄스
· y(x, t): ‘x와 t의 함수 y’라고 읽는다.
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진행파
사인형 파동 sinusoidal wave
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실제 파동현상의 연결
[University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.798]
사인형 파동은 연속적인 주기 파동의 가장 간단한 예로, 어떠한 복잡한 파동이라도 사인형 파동으로 분리할 수 있다. ⇒ 복잡한 파동도 결국은 시간차를 보이는 사인형 파동의 총합과 같다.
횡파 운동
· 매질요소의 운동: 매질의 각 요소는 y-(y축)을 따라서 단순조화운동을 하며 오로지 상하로만 움직인다.
· 파동의 운동: 파형(파동의 전반적인 형태)의 이동 ⇒ 파형의 이동거리는 파동의 속력 v가 일정한 조건에서 vt를 만족한다.
파동분석에 사용되는 용어
· 마루(crest): 파동의 최고점
· 골(trough): 파동의 최저점
· 파장(wavelength, λ): 한 마루에서 다음 마루까지의 거리, 혹은 한 골에서 다음 골까지의 거리
· 주기(period, T): 한 파장이 이동하는 데 걸리는 시간, 단위는 초(s)
· 진동수(frequency, f): 단위 시간 당 주어진 지점을 지나가는 마루의 총 개수
· 진폭(amplitude, A): 매질요소의 평형위치로부터 최대위치까지의 거리 혹은 최저위치(골)까지의 거리
진동수(frequency)
- 물리량
· f: 진동수
· T: 주기
- 의미: 진동수는 주기의 역수이다. ⇒ 역의 관계도 역시 성립한다.
- 단위: 헤르츠(Hz, s^-1; 초 시간의 역수)
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파동의 속력은 매질의 성질에 의존한다. e.g. 음파의 경우, 공기보다 고체를 통해서 에너지가 훨씬 빨리 전달된다.
PROOF. 사인형 파동(사인형 파동함수, 사인파)의 공식
[1] y=0일 때, 파동은 사인 그래프를 그리고 있으므로 이 순간, 파동에 대한 함수는 다음과 같다.
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- 물리량
· A: 진폭
· a: 구해야 할 상수
· x=0일 때, y(0, 0)=Asina(0)=0이다.
[2] y=0가 되는 다음 x값은 반파장 λ/2이다.
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- 파동의 진폭은 항상 그 크기를 가지므로, 위의 식이 성립하기 위해서는 sin(a×반파장)항이 0이 되어야 한다. ⇒ sinπ=0이므로 a=2π/λ로 계산된다.
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t=0일 때 파동의 사인형 함수
파동이 오른쪽으로 의 속력만큼 움직일 때, 시간 후의 파동함수
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파동의 속력(speed of wave)
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- 의미: 위의 식을 만족하는 파동은 한 지점을 일정한 속력을 가지고 일주기에 한 파장만큼 이동한다.
파동을 표현하는 데 필요한 추가적인 물리량은 아래와 같다. ⇒ 파수(wave number), 각진동수(angular frequency)
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파수와 각진동수로 나타낸 사인형 파동의 파동함수
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각진동수와 파수로 나타낸 파동의 속력
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