줄의 사인형 파동
- 줄에서 각 요소는 y-으로 단조화 운동을 한다. ⇒ 줄의 각 부분을 단순조화 진동자로 취급할 수 있다. cf. 단, 줄의 요소들은 항상 수직선상에서만 진동한다.
· 횡속력(transverse speed): v_y, 파동의 속력 와 반드시 구분하여 사용한다.
PROOF. 사인형 파동의 미분 물리량: 횡속력, 횡가속도
횡속력 v_y과 횡가속도 a_y는 파수와 각진동수로 나타낸 파동함수 식을 시간에 대해 미분함으로써 각각을 구할 수 있다.
횡속력
횡속력
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횡가속도
횡가속도
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위 두 식에서 y는 x와 t의 복합함수이기 때문에, 일반적인 미분기호 d 대신 편미분 기호(∂)를 사용했다.
횡속력과 횡가속도의 최대크기는 다음과 같다.
- 최대 횡속력: v_y, max=ωA ⇒ 변위 y=0일 때, 파동은 최대 횡속력을 갖는다.
- 최대 횡가속도: a_y, max=(ω^2)A ⇒ 변위 y=+-A일 때, 파동은 최대 횡가속도를 갖는다.
줄파동의 속력
줄을 따라 진행하는 횡파의 경우, 줄에 걸린 횡파의 속력변수는 다음과 같다.
1. 줄에 걸린 장력의 크기
2. 줄의 단위 길이 당 질량
· 가벼운 줄은 가속시키기 쉬운 반면 무거운 줄은 가속시키기 어렵다.
· 줄의 단위 길이(l) 당 질량(m)은 μ=m/l로 정의한다.
팽팽한 줄에서의 파동의 속력
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PROOF. 줄 파동 속력 유도
오른쪽으로 일정한 속력 v를 가지고 줄을 따라 움직이는 펄스를 떠올려 보자.
- 펄스와 같은 속력으로 움직이는 관성 기준틀을 정하면 펄스는 관성기준틀에 대해 정지한 상태라고 볼 수 있다.
펄스의 꼭대기에 위치한 줄의 한 요소는 다음과 같은 특징이 있다.
[1] 꼭대기 요소에는 줄의 장력(T)이 양쪽으로 걸려 있다.
· 두 장력의 크기(T)는 서로 같다.
· 최고점을 그은 가상의 선에 대해 두 장력은 같은 각도(θ, theta)를 가진다.
· 그러므로 장력의 수평성분은 상쇄되어 사라지고, 수직성분은 2Tsinθ의 크기를 가진다.
[2] 미소 길이 Δx(delta x)는 반지름이 R인 원호로 간주할 수 있다.
[3] 줄의 한 요소가 원호를 끼고 있기 때문에, 지름방향으로 향하는 두 장력의 수직성분이 크기의 구심 가속도를 만든다고 볼 수 있다.
- 줄의 전체길이에 비해 요소는 매우 작으므로 θ는 미소크기의 각도로 취급할 수 있고, 따라서 작은 각도의 근사식(small-angel approximation) 중 하나인 θ≒sinθ≒tanθ 식을 호 중심을 향하는 힘 크기 식에 적용할 수 있다.
[4] 줄의 미소요소가 가진 질량은 μΔx이다. ⇒ 이때 요소는 호의 일부이므로 중심에서의 각도는 2θ가 되고, Δx=R(2θ)로 계산할 수 있다.
줄의 미소요소 질량
[University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.811]
[5] 요소에 뉴턴의 운동 제 2법칙을 적용한다.
therefore,
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반사와 투과
고정단(fixed boundary) 조건과 자유단(free boundary) 조건
[University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.820]
1. 고정단(fixed end) 조건: 한쪽 끝이 벽면에 고정되어 있는 줄을 따라 진행하는 펄스 ⇒ 펄스가 벽에 접근하면 매질에 급격한 변화가 생겨 반사(reflection)현상이 일어난다.
- 펄스는 입사펄스와 정반대인 위상으로 반사된다. ⇒ 위로 볼록한 입사펄스는 고정된 벽에 의해 아래로 볼록한 반사펄스로 반사된다.
- 원인: 펄스가 줄의 고정된 끝에 도달하면 이 줄은 벽의 위 방향으로 힘을 가하게 된다. 뉴턴의 운동 제 3법칙에 의해 벽은 크기가 같고 방향이 반대인 반작용력을 줄에 가하고, 결과적으로 아랫방향의 힘에 의한 반대 위상의 반사 펄스를 만든다.
2. 자유단(free end) 조건: 줄의 한쪽 끝이 수직으로 자유롭게 움직이는 자유단에 펄스가 도달하는 경우
- 펄스는 반사되지만 뒤집히지 않는다.
- 줄의 한쪽 끝에는 수직으로 자유롭게 움직이는 고리가 연결되어 있는데, 펄스가 처음 도달하면 고리는 위로 가속된다. 고리가 입사펄스의 크기까지 이동한 뒤, (자유단의 고리는) 장력의 아래 방향 성분에 의해 원래 위치로 되돌아오는데, 이러한 고리의 운동은 입사펄스의 진폭과 같은 뒤집어지지 않은 반사 펄스를 만든다.
3. 가벼운 줄이 무거운 줄과 연결된 경우
가벼운 줄에서 출발한 입사펄스는 무거운 줄의 경계를 지날 때, 일부(반사 펄스)는 반사되어 뒤집히고, 일부(투과 펄스)는 무거운 줄로 투과된다.
- 뒤집힌 반사펄스는, 무거운 줄이 가벼운 줄에 대해 고정단(fixed end)임을 보여준다.
- 뒤집힌 반사펄스의 진폭은 입사펄스의 진폭보다 작다.
- 투과펄스는 무거운 줄로 이동하는 펄스로 입사펄스의 진폭보다는 작지만 같은 위상을 가진다.
- 파동에서의 에너지 보존법칙: 입사펄스의 초기에너지는 두 반파펄스의 에너지의 총합과 같다. ⇒ 반사펄스의 진폭이 입사펄스의 진폭보다 작은 이유
가벼운 줄이 무거운 줄과 연결된 경우 Vs. 무거운 줄이 가벼운 줄과 연결된 경우
[University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.821]
EXAMPLE. 무거운 줄에서 가벼운 줄로 오른쪽으로 진행하는 펄스
무거운 줄에서 출발한 입사펄스는 가벼운 줄의 경계를 지날 때, 반사펄스는 뒤집히지 않은 채 돌아가며, 투과 펄스는 가벼운 줄에 줄어든 진폭으로 투과된다.
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줄파의 에너지 전달률
고정단에 줄을 묶고 줄의 한 점에 물체를 매단 후, 줄에 입사펄스를 보내는 경우를 떠올려 보자.
- 줄을 통해 보낸 펄스는 일차원의 사인형 파동과 같다. ⇒ 사인형 파동이 줄을 따라 진행하는 경우, 에너지원은 줄의 왼쪽 끝에서 외부에 가해준 일이므로 줄은 비고립계로 간주할 수 있다.
- 줄에 펄스가 전달되면, 매달린 물체에 이르러 물체가 일시적으로 위로 올라간다. ⇒ 물체-지구 계의 중력위치에너지가 증가한다.
줄의 각 요소는 단순조화 운동을 한다.
· dx: 줄의 요소 길이
· dm: 줄의 요소 질량 ⇒ μ를 단위 길이 당 질량(dm/dx)으로 두면, 요소질량 dm은 μdx로 고칠 수 있다.
· 줄의 요소는 모두 동일한 각진동수와 진폭을 갖는다.
· 줄의 요소가 가진 운동에너지 dK는 다음과 같이 계산한다.
· 여기서 v_y은 transverse speed를 의미한다.
t=0일 때 파동에 대해 주어진 요소의 운동에너지
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위의 식을 파동의 한 파장 내에 줄의 모든 요소에 대해 적분하면 한 파장 내의 전체 운동에너지(K_λ)를 구할 수 있다.
한 파장 내 줄의 전체 운동에너지
$K_{\lambda }=\frac{1}{4}\textcolor{#ff0010}{\mu \omega ^2A^2}\lambda $Kλ=14μω2A2λ
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운동에너지 이외에, 줄의 각 요소는 평형 상태로부터의 변위와 이웃하는 성분으로부터의 복원력으로 인해 위치에너지를 가진다.
한 파장 내 줄의 전체 퍼텐셜에너지
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한 파장 내의 줄의 전체 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합이다.
한 파장 내의 줄의 전체 에너지
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파동의 일률(power): 파동이 줄을 따라 진행할 때, 에너지는 한 주기 동안 줄 위의 주어진 점을 지나간다. 그러므로 역학적 파동의 일률은 다음과 같이 계산된다.
파동의 일률
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- 의미: 모든 사인형 파동에 적용되는 에너지 전달률 식으로 사인파의 에너지 전달률은 다음과 같은 물리량 특징을 갖는다.
· 비례물리량: 단위길이 당 질량(dm/dl), 파동의 속력 v
· 제곱비례물리량: 진동수 ω, 진폭 A