질량중심(center of mass): 질점계의 모든 질량이 모인 곳(위치)
「The center of mass is the point at which we can imagine all the mass of an object to be concentrated.」 (Bauer, p.232)
평면에 놓인 아령형의 입자의 두 질량이 [그림 1]과 같이 서로 다를 때, 질량 중심은 아령의 중심으로부터 무게가 '무거운 쪽'으로 쏠려 있다. 즉, m_2가 m_1보다 질량이 클 때 질량 중심은 m_2쪽으로 그 위치가 가깝다.
외력을 가했을 때, 회전의 방향성이나 직선 움직임을 보고 계의 질량중심을 정성적으로 파악할 수 있다.
질량중심
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만약 위의 식을 적용하여 물분자[그림 2]의 질량중심을 다음과 같이 구할 수 있다.
[1] 물 분자는 3개의 원자로 이루어진 계이며, 산소(oxygen)는 16.0u, 수소(hydrogen)는 1.0u의 질량을 갖는다.
[2] 산소 원자의 중심을 O(0, 0)으로 잡는다. 그리고 산소와 붙은 수소에 대해 핵간 거리가 d만큼 떨어졌다 했을 때, d는 대략 10^-10[m]이다. 또한 수소와 산소는 평면 상에서 각각 52.5도의 각도를 갖는다.
[3] 물 분자는 평면 상에서 [그림 2]와 같이 놓이며, x, y축 상의 질량중심을 다음과 같이 구할 수 있다.
따라서 물 분자의 질량 중심은 다음과 같이 정리할 수 있다.
다양한 물체의 질량 중심은 [그림 3]과 같이 나타난다.
우리 주변의 물체는 연속적이고 비대칭적인 질량 분포를 가진다. 하지만 그런 부피를 가진 물체일지라도 극미(infinitesimal)한 정육면체의 연속(continuity)으로 간주할 수 있다.
[그림 4]와 같은 L의 길이를 가진 막대기의 질량중심은 다음과 같이 구할 수 있다.
[1] 일정한 선밀도 λ=M/L를 가진 질량 M의 막대기로 가정하고, 이 막대기의 양 끝단을 x축에 놓을 수 있다.
[2] 밀도가 일정한 물체에 대해, 질량이 균일하고 대칭적인 물체의 질량 중심은 대칭축과 대칭면 위에 놓인다.
[3] [과정 1]의 선밀도와 적분식을 활용한 질량중심 식을 사용한다.
[4] 막대의 전체 질량 M에 대해 막대의 전체 길이 L이 대입되었고, 선밀도는 일정하다고 했기 때문에, 미소 길이 dx와 dm에 대해서도 다음과 같은 식이 성립한다.
[5] [과정 4]로부터 dm을 유도할 수 있다.
[6] [과정 3]의 초록색 식 dm에 [과정 5]의 결과를 대입한다.
즉, 밀도가 일정한 막대기의 무게 중심은 막대기의 절반 길이에 있다.
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