【2022 물리학 | 고전역학】 좌표계와 삼각함수 ☆보충자료☆

물리학의 여러 가지 문제는 공간상에서의 위치 표현으로부터 시작되고, 이를 위해서는 벡터에 대한 내용을 반드시 숙지해야함을 여러 차례 강조하였다.

- 벡터의 수학적 해석을 위해 삼각법(trigonometry)이 도입되었다.

· trigonometry: 삼각형의 변과 각 사이의 관계에 따른 여러 가지 기하학적 도형을 연구하는 수학의 한 분과

- 공간상의 위치표현은 프랑스의 철학자 르네 데카르트(René Descartes, 1596~1650)가 쓴 저서 『기하학(La Géométrie)』(1637)과 프랑스의 법조인 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)의 3차원에 관한 연구로부터 발견할 수 있다. ⇒ 특히 데카르트는 직각좌표계를 이용해 유클리드 기하학(Euclidean geometry)과 대수학(algebra)의 혁신적으로 연결했다.

- 좌표계(coordinate system): 물리량의 값(수치)을 공간 상 좌표로 표현하기 위해 도입한 체계, 물체의 운동을 기술할 때 반드시 필요함

· 좌표(coordinates): 좌표계에서 물체의 운동 및 그 위치에 부여된 수치 또는 성분

· 해석기하학에서는 점이 좌표 (x, y, z)로 표현되면서, 도형의 성질을 방정식으로 풀어낼 수 있게 됨

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좌표계의 도입

① 점은 coordinates의 실수 순서쌍(ordered pair, ordered set)으로 간주된다.

- 순서쌍이란 순서가 고려되는 둘 이상의 변수로 (a, b)로 흔히 표현된다.

- x, y축(x, y-)의 두 축 시스템(직각좌표계)에서 coordinate (x, y)는 (a, b)로 표현되며, (a, b)≠(b, a)이다.

② 직선, 곡선, 평면은 형태에 따라 방정식으로 표현가능하다.

③ 도형의 성질 또한 방정식의 형태로 설명하고, 방정식의 해(solution)는 기하학적 대상이 된다.

e.g. 반지름이 1인 구는 이다.

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좌표계(좌표시스템)

일반물리학 수준에서 좌표계는 2차원 좌표계가 많이 쓰이며, (1)평면직각좌표계와 (2)평면극좌표계가 대표적이다.

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데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system, 평면직각좌표계): 이차원 상에서 원점(origin) O(0, 0)을 기준으로 서로 수직하는 두 축을 그린 좌표계이다. 임의의 한 점 P는 P(x, y)로 표시한다.

그림 1. 좌표평면과 좌표

- 좌표평면: x, y-으로 이루어진 임의의 평면

- 좌표평면에서 원, 직사각형, 정사각형, 곡선 등의 모양이 수치적으로 정의된다.

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직교좌표계(orthogonal coordinate system): 각각의 축 또는 축평면이 직교성을 유지하는 좌표계

그림 2. 직교좌표계의 구분

평면 극좌표계(polar coordinate system): 평면 극좌표계는 평면상의 한 점을 표기할 때 (r, θ)를 사용해 점의 위치를 표현할 수 있다. ⇒ 평면 극좌표계의 기원은 고대 그리스의 천문학자 히파르코스(Hipparchus of Nicaea, c. B.C. 190~c. B.C. 120)가 남긴 각도에 따른 현의 기록(a table of chord functions)으로부터 찾을 수 있다.

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그림 3. Polar Coordinate System and Its Coordinates

- r: 직각 좌표의 원점으로부터 한 점의 특정 위치인 (x, y)까지의 거리

- θ: 원점에서 주어진 점까지 그은 선분과 고정된 x-사이의 각도

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고정 축은 대개 +x-(원점으로부터 오른쪽 x축 구간)을 택하고 각도는 반시계(counter-clockwise) 방향으로 측정한다. ⇒ 오른손을 기준으로 오른손가락을 감싸는 방향을 (+) 방향으로 설정했다.

① +θ: +x-로부터 반시계 방향의 각도

② -θ: +x-로부터 시계 방향의 각도

그림 4. 직각삼각형의 기본 구성

trigonometry의 정보를 이용해 평면 극좌표로부터 직각 좌표계 얻을 수 있다.

- 단, θ를 +x-으로부터 반시계 방향으로 측정된 각으로 정의하는 경우에만 아래 식을 사용할 수 있다.

- 직각삼각형의 변 a는 각도 θ를 전혀 끼지 않은 높이 변(opposite)이고, 변 는 각도에 대해 밑변(adjacent), 변 는 빗변(hypotenuse)이라 한다.

삼각함수(trigonometric functions)란, 각의 크기를 삼각비로 나타낸 함수로 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각(acute angle)에 직각 삼각형의 두 변 길이의 비를 대응시킨다.

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삼각함수의 기본공식을 따르면, tanθ는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

피타고라스의 정리를 활용해 (피타고라스 항등식, Pythagorean identity)이란 식을 유도할 수 있다. ⇒ 삼각함수 항등식을 참고

삼각함수

좌표계를 이해하기 위해서는 기본적으로 삼각함수(trigonometric function)를 이해해야 한다. 삼각함수는 직각삼각형의 특수한 성질에 기초한 수학의 한 분야이다.

기본성질 이외에도 삼각함수와 연관해 매우 중요한 단서가 되는 식들이 있는데, 아래는 삼각함수의 항등식(trigonometric identity)으로 물리학의 문제를 푸는 데 종종 활용된다.

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삼각함수 항등식

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직각삼각형이 아닌 삼각형에 대해서는 사인 법칙과 코사인 법칙을 적용한다.

그리고 아래의 삼각함수 공식들도 때에 따라서 잘 활용된다.

추가로 반각공식도 알아두자.

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코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트

사인, 코사인, 그리고 탄젠트 값은 모두 그에 상응하는 역수 값을 갖는다.

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