[일반화학] 15. p 궤도함수(p 오비탈) [심화]

p 궤도함수

np 파동함수의 각도부분

각운동량 양자수가 0이 아닌 궤도함수는 더 이상 구면대칭이 아니다.

- 각운동량 양자수 l이 1일 때, m 값은 -1, 0, +1이고 이들 세 개의 각도 파동함수는 모양은 같지만 방향은 서로 다른 세 개의 궤도함수가 된다.

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l=1, m=0의 각도파동함수 Y_10는 z축을 따라 놓여있기 때문에, p_z 궤도함수의 각도부분이다.

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그림 1. l=1, m=0인 각도파동함수

- Y_p_z는 cosθ에 비례한다.

- 궤도함수의 최대값은 z축 상에 있고, xy 평면에 node(angular node)가 있다.

1. θ=0 또는 π일 때 최대값을 갖는다.

2. θ=π/2이므로 cosθ=0이다.

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- 위상이 양인 부분은 xy평면 상 z값이 양인 부분에, 위상이 음인 부분은 z값이 음인 부분에 놓여 있다.

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l=1, m=1의 각도파동함수 Y_11과 l=1, m=-1의 각도파동함수 Y_1, -1의 합, 차는 수소원자의 슈뢰딩거 방정식의 해이다.

c_1과 c_2는 각각 상수이다.

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두 각도파동함수의 연산 결과는 다음과 같다.

그림 2. l=1, m=1 / l=1, m=-1인 각도파동함수

Y_p_x는 x축에 따라 놓여 있고, Y_p_y는 y축에 따라 놓여있다.

- 따라서 둘의 node는 yz평면, xz평면에 있다.

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확률밀도의 각도의존성

r 값이 고정되어 있을 때, 위치 (θ, φ)에서 전자를 발견할 확률밀도는 각도파동함수의 제곱이다.

그림 3. lobe를 이룬 p 오비탈 그룹

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- Y^2의 결과인 lobe는 원형이 아니다. ⇒ p오비탈 궤도함수(Y)에서 원형의 안쪽으로 더 수축된 모양

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np 파동함수의 방사부분

p 궤도함수 역시 s 궤도함수와 마찬가지로 방향과는 관계없이 핵으로부터 특정되어진 거리 r에서 0이 되는 방사마디를 갖는다.

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그림 4. np 파동함수의 방사파동함수

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R_21에는 방사마디가 없고, R_31에는 1개의 방사마디가 발견된다.

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그림 5. np 파동함수의 방사확률밀도

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방사상 매듭면의 공식

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[일반화학] 09. 오비탈과 노드(매듭면)

​​각운동량 양자수는 오비탈의 모양을 결정하고, 일반화학에서 중요한 오비탈로 s, p, d오비탈을 꼽는다....

 

np 파동함수의 경우, 각도 부분에 항상 마디면을 갖기 때문에 전체 파동함수에는 n-1개의 마디를 갖는다.

l>0인 모든 파동함수에 대해 핵의 위치에서 전자가 존재할 확률밀도는 0이다!

- 각운동량을 갖는 전자는 핵 주위를 돌기 때문에 핵에 '침투'할 수 없다.

cf. s 궤도함수의 전자는 핵에 침투할 수 있다.

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p 오비탈의 전체 궤도함수

p 오비탈의 전체궤도함수는 np 파동함수의 각도부분과 방사부분을 곱한 값이다.

그림 6. 수소원자의 p_z 궤도함수의 크기 등고선

- 방사파동함수는 각도파동함수에 곱해져 xy평면에 근접한 원형 모양을 더욱 평평하게 만든다.

- 핵 근처에서 진폭은 급격하게 감소한다.

- 방사함수의 최대값보다 먼 거리에서 진폭은 완만하게 감소한다.

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그림 6을 z축을 중심으로 회전시키면 2p_z의 3차원 모양을 확인할 수 있다.

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그림 7. p_z 궤도함수의 3차원 모양

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궤도함수의 특성

1. 주어진 l 값에 대해 n이 증가하면, 핵으로부터 전자까지의 평균거리가 멀어지며 그 결과 궤도함수의 크기가 커진다.

2. n, l을 갖는 궤도함수에는 각도마디 l, 방사마디 n-l-1개를 갖는다.

- 각도마디는 평면에 존재한다.

- 방사마디는 구면에 존재한다.

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단전자 원자나 이온의 경우, 에너지는 마디수에만 의존한다. ⇒ 주양자수 n에만 의존하며, l, m과는 무관하다.

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3. r이 0에 가까워지면 s 궤도함수를 제외한 모든 궤도함수에서 파동함수는 0이다.

- s 궤도함수의 전자는 각운동량의 부재로 인해 방사상 축으로만 움직이기 때문에, s 궤도함수의 전자만이 핵에 침투할 수 있다.

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