[일반화학] 13. 수소원자의 분석 [심화]

​

수소원자는 단전자 원자와 이온 중 가장 간단한 예로, 전자가 하나만 남은 채 모두 떨어져 나간 것이 특징이다. 단, 핵전하는 원소에 따라 +Ze로 다양하므로, 전자-핵 사이의 인력의 크기는 모두 다르다.

- Z: 원자번호로 원소의 양성자 수와 같다.

- 단전자 원자의 퍼텐셜에너지는 핵과 전자 사이의 거리에만 의존하고, 각도의 방향(angular orientation)과는 무관하다.

​

단전자 원자의 정량적 분석에 앞서 좌표계는 구면 극좌표계(spherical polar coordinate)를 쓰는 것이 좋다.

​

그림 1. 구면극좌표계: 원점은 O이다.

​

구면 극좌표계와 직교좌표계(x, y, z)는 다음과 같은 관계를 갖는다.

​

수소원자의 에너지 준위

단전자 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해로 가질 수 있는 특정에너지 값은 아래와 같다.

​

단전자 원자의 에너지 준위

- n은 principal quantum number이다.

- 단전자 원자의 에너지 준위는 Bohr 이론에서 예측한 수소원자의 에너지 준위와 일치한다.

- 단전자 원자의 에너지 준위 식에서 전자의 질량 m_e는 환산질량으로 대체할 수 있다.

 

■

​

단전자 원자의 에너지 준위는 주양자수 n에만 의존한다.

​

슈뢰딩거 식에 의하면, 각운동량(angular momentum)의 크기의 제곱과 각운동량 z축 방향 성분인 L_z도 양자화 된다.

​

각운동량 크기 제곱

■

​

z축 각운동량 방향성분​

■

​

각운동량 크기 제곱과 z축 각운동량 방향성분이 양자화되어 있기 때문에, 양자수가 2개로 추가된다.

1. 각운동량 양자수(angular momentum quantum number): l

2. 자기양자수(magnetic quantum number): m(또는 m_l)

​

l과 m은 n의 값에 따라 양자수의 조합이 제한된다.

- n>1일 때, n^2개의 양자상태가 하나의 에너지 준위에 해당하는 데, 이 상태를 중첩(degenerate)되었다고 한다. ⇒ 하나의 에너지 준위를 양자상태가 공유한 상황

​

물체의 각운동량

직선 운동에서 질량 m인 물체가 특정한 점으로 v 속력으로 향할 때 물체의 운동량은 다음과 같다.

이 개념을 원운동으로 확장하기 위해, 점 주위에서 r의 반경만큼 회전하는 물체의 angular momentum을 L로 정의한다.

보어 모형에서 전자의 각운동량은 양자화되어 있다. 왜냐하면 고전 역학에 따르면, 전하를 가진 입자가 원운동을 할 때는 일반적으로 빛을 방출하면서 빠르게 궤도를 잃어야 하는데, 실제 관측결과 양자 수준에서 최소한의 안정한 궤도를 갖는 전자를 설명하기 위해 보어는 과감하게 전자의 각운동이 양자화되었음을 가정했다.

- 전자의 선운동량 개념에서 확장하여 각운동량은 축을 중심으로 회전하는 전자의 움직임을 기술한다.

- 물리학에서 전자(입자)의 각운동량이란, 전자의 질량과 속력, 그리고 궤도의 반지름의 곱이다.

- 보어는 각운동량을 h/2π의 정수배에 해당하는 값으로 양자화되어 있다고 가정했다.

​

(보어의) 전자각운동량

■

​

양자상태에 대한 파동함수

각 양자 상태에 대해(n, l, m) 슈뢰딩거 방정식의 해는 아래와 같은 파동함수로 얻어진다.

방사부분과 각도부분이 곱의 형태로 나타나는 것은 퍼텐셜 에너지 함수가 구면대칭이어, 각각의 기여도를 분리하여 고려할 수 있기 때문이다.

- Y_lm은 구면 조화 함수(spherical harmonics)로 구면대칭성의 문제에 자주 등장한다.

​

파동함수 자체는 측정되지 않는다. 파동함수의 제곱인 확률밀도가 물리적으로 의미있으며, 파동함수를 활용한 전자를 발견할 확률밀도는 다음과 같다.

​

그림 2. spherical volume elements, dV

ψ^2dV 식은 원자가 n, l, m 상태에 있을 때, 전자 (r, θ, φ)의 위치에 있는 작은 부피 dV 내에서 발견할 확률을 의미한다.

​

단전자 원자가 n, l, m 상태에 있을 때 해당 파동함수(r, θ, φ)를 orbital이라 한다.

- 단전자 원자가 (n, l, m) 상태에 있을 때, 전자가 (n, l, m) 궤도함수에 있다.

- 전자가 양자수 n, l, m에 해당하는 에너지, 각운동량, 각운동량의 z 성분을 가질 때, 이 전자의 위치 (r, θ, φ)에서 발견될 확률밀도는 ψ^2이다.

​

그림 3. Wave Functions of the Hydrogen Atom

​

#화학 #일반화학 #수소 #수소원자 #수소원자의파동함수 #미소부피요소 #구면좌표계 #각운동량양자수 #자기양자수