아시아에서 발발한 코로나 바이러스(Covid-19)는 이제 전 세계를 혼돈 속으로 빠트리고 있다. 지금까지는 코로나 바이러스 질환에 관한 기록은 이전부터 건강했거나 나이가 상대적으로 젊은 사람들에게 제한적인 것으로 보고했으나, Covid-19가 유럽에 진출한 이후에는 예외적인 사례도 등장했으므로 현재는 '세대불문' 모든 이들의 주의가 절실히 필요한 상황이다.
먼저 포스팅에 앞서 암울한 전 세계적 상황의 반전을 진심으로 바란다.
SIR Model(Susceptible-Infectious-Recovered Model)
Anderson Gray McKendrick
SIR 모델은 전염병이 유행할 때 감염자의 수를 최대한 정확하게 예측하기 위해 사용하는 대표적인 전염병 확산 모델(1927)이다. 스코틀랜드의 생화학자 켈멕(William Ogilvy Kermack, 1898-1970)과 같은 국적의 병리학자였던 맥켄드릭(A. G. McKendrick, 1876-1943)이 고안한 이론으로 미분방정식의 지식을 필요로 한다.
미분방정식의 작성에 앞서, 몇 가지 변수를 먼저 정의해보자.
- N: 국가의 총 인구수
- S(t): susceptible, 시간 t에서 아직 감염되지 않은 인구수
- I(t): infected, 시간 t에서 질병에 감염된 인구수
- R(t): recovered, 시간 t에서 질병으로부터 회복된 인구수
[출처: https://triplebyte.com/blog/modeling-infectious-diseases]
그리고 인구 변수의 특징 중 핵심은 아래와 같다.
- I 그룹은 질병에 감염된 사람으로 S 그룹에 감염을 유발할 수 있다.
- R 그룹은 전염병에 관한 면역력을 갖추어 회복한 사람으로 다시 감염(재감염)되지 않는다.
- 질병의 전파는 시간에 따라 S → I → R 순서를 갖는다.
[출처: https://www.lewuathe.com/covid-19-dynamics-with-sir-model.html]
다음, SIR model의 식은 시간에 따른 세 가지 변수(S, I, R)의 변화율을 미분방정식(상미분방정식)의 형태로 갖는다.
SIR 모델은 상미분방정식으로 2가지 새로운 매개변수(parameter)를 포함하고, 식은 각 유형의 인구수를 계산하는 데 사용된다.
1. 베타 β: 전파매개변수(A parameter controlling how much the disease can be transmitted through exposure)
2. 감마 γ: 회복매개변수(A parameter expressing how much the disease can be recovered in a specific period)
상미분방정식의 제약
1. 전체 인구수의 변화는 없다. 즉, 전체 인구수는 고정된 상수(constant)이다.
2. 감염 후 회복된 사람이 재감염되지 않는다.
3월 11일 기준 베타 값과 감마 값
첫 번째 식의 해석
1.
전염력(force of infection)은 전파매개변수에 비례한다.
- 전파매개변수란, 감염자와의 물리적 접촉(노출)에 의한 감염확률로 한 개인에 대한 전염병의 전염력은 감염자와의 접촉 빈도와 정비례한다.
- 전파매개변수는 감염자와의 물리적 접촉 확률에 접촉 시간을 곱한 값이다. 즉, 감염자와의 물리적 접촉이 빈번하거나, 감염자와 오래 같은 공간에 머무를 수록 전파매개변수 값은 급격히 증가한다.
2.
3.
마지막으로 dS/dt는 변수분리형 미분방정식이므로 변수분리형 미분방정식의 풀이법을 활용하면 시간에 따른 비감염자의 수의 동향을 확인할 수 있다.
- (-)부호는 전염병의 퍼짐에 따라 비감염자의 수가 줄어드는 음의 기울기를 의미한다.
두 번째 식의 해석
1. 회복매개변수: 감염된 환자가 회복될 확률로, 회복매개변수의 값이 클수록 I 그룹의 인원이 R 그룹으로 대폭 넘어간다.
2. 회복매개변수의 역수는 평균 감염 시간이다.
기초감염재생산수(Basic Reproduction Number)
전파매개변수와 회복매개변수의 비로 우리는 전염병이 전파되는 속도를 수치화할 수 있다.
- R0가 클수록 전염력이 크다고 할 수 있다.
Covid-19의 R0값은 1.4-3.9 정도이다.
[출처: Wikipedia]
[출처: https://triplebyte.com/blog/modeling-infectious-diseases]
시간에 따른 감염자 수의 변화는 (전염력×비감염자수) - (회복매개변수×감염자수)로
1. 회복매개변수×감염자수 값이 클수록 감염자의 수가 감소한다!
2. 회복매개변수의 값을 크게 하는 사회적 의료 서비스 제공, 개인 수준의 치료(건강 유지) 및 예방책(마스크 착용)이 필요하다!
세 번째 식의 해석
세 개의 미분방정식은 위와 같은 그래프로 묘사된다.
1. 파란색: 전염병에 감염되지 않은 인구수(비감염자)
2. 빨간색: 전염병에 감염되었다가 회복한 인구수(면역자)
3. 초록색: 전염병에 감염된 인구수(감염자)
SUMMARY
정리하자면, 전염병에 관한 세 개의 상미분방정식을 통해 우리는 다음과 같은 사항을 확인할 수 있다.
1. 전파매개변수의 값을 낮추고 회복매개변수의 값을 높일수록 인구 대비 전염병 면역자 수가 증가한다.
2. 전파매개변수는 감염자와의 접촉빈도와 접촉시간의 곱에 비례한다. 따라서 감염자의 물리적 접촉 빈도 및 시간을 줄이는 것이 좋다.
- 마스크 쓰기: 코로나 바이러스는 공기 중(airborne droplets) 전염으로 발생한다.
- 감염다발 지역 피하기
- 의료진 및 봉사단 방호복 착용
3. 회복매개변수는 개인 감염환자의 회복률을 반영하는 변수로 개별 환자의 적극적인 치료 및 사회적 의료 시스템 구축으로 수치 값을 향상시킬 수 있다.
REFERENCE
1. Compartmental Models: https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology
Compartmental models in epidemiology - Wikipedia
Compartmental models in epidemiology From Wikipedia, the free encyclopedia This article includes a list of references , but its sources remain unclear because it has insufficient inline citations . Please help to improve this article by introducing more precise citations. ( July 2017 ) ( Learn how a...
en.wikipedia.org
2. Kai Sasaki's ML fit of Covid-19 cases to the Analytic Solution of the SIR Model: https://www.lewuathe.com/covid-19-dynamics-with-sir-model.html
COVID-19 dynamics with SIR model
The outbreak of the novel coronavirus disease (Covid-19) brought considerable turmoil all around the world. Although the number of new patients in the mainland Child is restrained, the other countries are still struggling with the increasing number of new cases. I sincerely hope the situation will g...
www.lewuathe.com
3. The Mathematics of Infectious Diseases: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144500371907
4. Triplebyte's Tutorial on Disease Modeling: https://triplebyte.com/blog/modeling-infectious-diseases
How COVID-19 and Other Infectious Diseases Spread: Mathematical Modeling
The World Health Organization (WHO), the Centers for Disease Control and Prevention (CDC), and governments within and outside of China are scrambling to minimize the spread of COVID-19. A well-designed disease model can help predict the likely course of an epidemic, and reveal the most promising and...
triplebyte.com