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【미분적분학 1】 Chapter 12. 미분법: 새로운 도함수 구하기

새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나 빼거나, 또는 상수배하여 만들어진 것이라면, 그 도함수는 이전의 함수의 도함수에 의해 계산된다.​상수배 법칙 | Constant Multiple Rule  ■​g(x)=cf(x)라 하자.​​합 법칙 | Sum Rule  ■F(x)=f(x)+g(x)라 하자.​​차 법칙 | Difference Rule  ■​차 법칙 역시 합 법칙과 마찬가지로 부호만 바꾸면 같은 방식으로 증명이 가능하다.​EXAMPLE. 상수배, 합, 차​아래 주어진 함수에 대한 도함수를 각각 구하시오. (7문항)   ■​물체의 움직임Motion of an Object n차 도함수는 n-1차 도함수의 변화율과 같으며, 이는 물리학에서 물체의 움직임을 설명하는 운동학과 밀접하다. 위치가 시간의 함수일 때..

【미분적분학 2】 Chapter 5. 부정적분

​미적분학의 기본정리 2에서 F는 f에 대한 임의의 원시함수였고, F는 다시 ∫f(x)dx로 표현할 수 있다.원시함수는 부정적분(indefinite integral)이라 불리며, 함수족(family)이다. ⇒ 즉, 부정적분은 하나의 함수족이다.​ F(x)=x^3/3은 f(x)=x^2의 역도함수, 즉 부정적분이며 여러 개의 부정적분을 갖는다.c는 부정적분의 상수(constant of integral)이다.부정적분의 상수는 임의의 값을 갖는다.​자주 사용되는 함수-부정적분 공식함수의 미분공식처럼 앞으로 적분을 풀기 위해서는 부정적분표가 필요하다.    부정적분의 여러 공식은 우변의 함수를 미분하여 피적분함수를 구하는 것으로 증명할 수 있다.  ※ List of Integrals There are nine l..

【미분적분학 2】 Chapter 4. 미적분학의 기본정리

​   뉴턴의 스승 배로(Isaac Barrow, 1630~1677, 잉글랜드)는 미분 문제와 적분 문제가 서로 밀접함을 발견했다.배로는 접선 문제와 넓이 문제의 풀이가 서로 역과정임을 확인했다. ⇒ 미적분학의 기본정리 이전에 적분은 합의 극한으로서 계산되었다. 함수 f가 구간 [a, b]에서 적분가능하고 Δx=b-a/n, x_i=a+iΔx일 때, 정적분은 다음과 같이 정의한다.  미적분학의 기본정리​미적분학의 기본정리 1(Fundamental Theorem of Calculus 1, FTC1) 만약 f가 구간 [a, b]에서 연속한다면,  로 정의된 함수 g는 구간 [a, b]에서 연속이고, 구간 (a, b)에서 미분가능하며, g'(x)=f(x)이다.■ - g(x)는 f(t)의 넓이와 같다.- g는 적..

​[Chapter 4. 도함수 찾기]에서 배운 미분계수의 개념에서 a(점 P의 x값)는 고정된 수였다. 그러나 지금부터는 이 a를 변할 수 있는 값으로 생각한다. 미분계수의 식에 a를 변수 x로 바꾸면, 도함수가 정의된다.​도함수 | Derivative ■​의미: x에서의 f'(x)의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기[그림 1]이다.f'(x)는 f의 도함수(derivative of f)로 정의된다.f'(x)의 정의역은 {x | ∃f'(x)}이며, 이 값은 f의 정의역보다 크지 않다.​   EXAMPLE. 도함수함수 f(x)가 아래와 같이 주어졌을 때, f'(x)를 구하시오.  SOLUTION.(1)  (2)​​(3) ​​   ■​위의 계산식은 그 과정이 너무..

앞선 챕터에서 우리는 오른쪽 근사와 왼쪽 근사를 알아보았다. 그리고 서로 다른 끝점에 의해 아래와 같은 대소 관계를 가짐을 확인했다.​이제는 이 아이디어를 확장하여 일반적인 영역 S에 적용할 수 있는 방법론을 알아보자.  [1] 먼저 어떤 함수 f(x)에 의해 생겨난 S에 대해 동일한 폭을 갖는 n개의 직사각형을 [그림 1]과 같이 나눈다. 단, 여기서는 오른쪽 끝점들(right endpoints)로 설정한 면적에 설명을 한정한다.  [2] 구간 [a, b](지점 a에서 b까지의 구간)의 폭 값은 b-a이고, n개의 직사각형 폭이 모두 Δx일 때, Δx는 아래 값을 만족한다.  구간 [a, b]의 전체 길이(폭)는 (n개의 직사각형) x (Δx)의 값과 같다.​[3] 직사각형은 [a, b]에서 n개의 부..

아르키메데스의 소진법Method of Exhaustion ​현대적인 적분 개의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스(Archimedes of Syracuse, B.C. 287 - B.C. 212)가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어, 오늘날의 적분과 매우 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다.아르키메데스의 소진법: 아르키메데스는 [그림 1]과 같이, 포물선을 가로지르는 특정한 직선에 의해 경계를 갖춘 면적(parabolic segment)의 넓이를 구하는 것을 탐구했는데, 이에 대한 해결책으로 그는 [그림 2]와 같은 포물선에 내접한 삼각형 면적을 반복적으로 만들어 나가는 '소진법(消盡法, method of exhaustion)'을 구상했다.​  [그림 2]와 같이 포물선에 내접한 첫..