다차원 상의 운동

 

위치벡터, 속도벡터, 그리고 가속도 벡터

위치벡터: 위치벡터함수(position vector function)로 표현되는 벡터, 원점 O에서 점 P에 이른다.

속도벡터: 속도벡터함수(velocity vector function) 또는 접선벡터함수(tangential vector function)으로 표현되는 벡터, 위치벡터의 각 성분별 시간 미분

가속도 벡터: 가속도벡터함수(acceleration vector function)로 표현되는 벡터, 속도벡터의 시간 미분

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3차원 상의(에서) 위치벡터는 다음과 같이 주어진다.

그림 1. A Three-dimensional Coordinate System with a Particle at Position P(x(t), y(t), z(t)) [University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.158(168)]

 

위치벡터함수는 시간에 따라 위치를 변화시킴으로써, 운동하는 물체의 경로 표현이 가능한 가장 기본적인 벡터함수이다.

Let v be a vector with initial point (0, 0) and terminal point (x_f, y_f, z_f). then =<x_f, y_f, z_f>.

그림 2. 변위벡터 [University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.159(169)]

 

변위벡터는 특정시간 동안 움직이는 임자의 ‘나중 위치벡터’에서 ‘처음 위치벡터’를 뺀 값이다.

- 의미: 위치벡터의 변화량

- 정의: 입자의 변위를 시간간격으로 나눈 값

- 방향: 변위벡터의 방향과 일치한다.

- 두 점 사이의 평균속도는 입자가 택한 경로와 무관하다.

그림 3. In the limit as delta t approaches zero, the velocity vector becomes tangent line to the path of a particle. [University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.163(173)]

 

- 정의: 시간에 대한 위치벡터의 도함수, 또는 위치벡터의 각 성분별 시간 미분(시간에 대한 미분한 값)

- 방향: 입자의 경로 상에 있는 임의의 점에서, 순간 속도벡터의 방향은 그 점에서의 경로접선과 일치하고 입자의 운동방향과 같다.

- 정의: 평균가속도는 순간 속도의 벡터의 변화를 걸린 시간으로 나눈 비와 같다.

- 방향: 평균가속도의 방향은 와 같다.

- 정의: 시간에 대한 속도벡터의 일차 도함수, 시간에 대한 위치벡터의 이차 도함수

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일반적으로 속도 벡터는 순간속도 벡터를 가속도 벡터는 순간가속도 벡터를 의미한다.

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일정한 가속도를 가지고 있는 이차원 상의 물체의 운동

2차원의 운동은 x-와 y-방향의 각각 독립된 운동으로 기술할 수 있다.

- 각 축의 방향은 서로 독립되게 존재한다. ⇒ y-의 운동에 변화를 주는 요인이 x-의 운동에 영향을 주지 않는다.

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e.g. [그림 4]와 같이 축 방향으로 초기속도를 가지는 비행기에 축 방향으로 바람이 불어온다고 가정하자. 이때, 물체의 속도는 여전히 이다. 왜냐하면 각각의 방향에 대한 운동은 서로 독립되기 때문이다. 단, 물체의 방향으로 라는 속도가 추가된다.

그림 4

 

2차원의 평면상에서 운동하는 입자의 위치벡터의 미분 결과는 아래와 같이 계산된다.

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자유낙하운동

Galileo Galilei, 1564~1642

 

이탈리아의 천문학자 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564~1642)는 자신이 고안한 실험을 통해 공기의 저항이 없는 조건에서, 지표면 부근의 모든 물체는 질량과 관계없이 동등한 중력가속도를 가진다고 생각했다. ⇒ 지구의 중력에 의해 물체는 일정한 높이에서 중력가속도라는 등가속도를 가지며, 중력가속도(등가속도)의 방향은 항상 지구중심부를 향한다.

그림 5. 진공상태: 자유낙하운동의 조건

 

David Scott, 1932~

 

자유낙하(freely falling): 공기저항이 부재한 조건에서, 지표면으로 떨어지는 물체의 가속도운동

- 1971년 8월 2일, 미국의 공학자인 데이비드 스콧(David Scott, 1932~; NASA group 3 사령관(미공군 대령))의 달에서의(during the Moon landing) 자유낙하실험 ⇒ 달에서 동전과 종잇조각을 동시에 떨어뜨린 결과, 둘은 달의 표면에 동시에 떨어졌다.

- 자유낙하가속도(중력가속도): vector g로 표현하며, 크기는 |g|, 지표면을 기준으로 방향은 지구 중심부를 향한다.

· 중력가속도는 고도가 높아짐에 따라 감소한다.

· 중력가속도는 질량분포에 기인하기 때문에, 위도에 따라서도 크기가 약간씩 달라진다. ⇒ 지구의 실제 모양은 완전한 구체가 아닌 타원이고, 적도가 극지방보다 좀 더 두툼하다.

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중력 가속도의 크기는 9.8[m/s^2]으로 근사한다.

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자유낙하물체: 처음의 운동 상태와는 무관하게 중력만의 영향 하에 자유롭게 움직이는 물체로 아래와 같은 조건에서 물체는 자유낙하 한다.

1. 연직하방물체: (위에서)아래로 떨어뜨리는 물체

2. 연직상방물체: (아래에서)위로 던진 물체

3. 포물체

cf. 단, 는 자유낙하가속도의 크기를 나타내므로 양의 부호를 갖는다.

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포물체 운동의 분석

그림 6. 포물체 운동 [University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.173(183)]

 

포물체 운동의 가정

1. 자유낙하 가속도(중력가속도)는 높이와 관계없이 항상 일정하고 방향은 아래를 향한다.

2. 공기저항을 무시한다. cf. 물체가 빠른 속력을 가진다면 공기의 유체저항을 고려해야 한다.

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포물체 운동의 분석

포물체 운동의 분석: 포물체의 최대수평도달거리와 최대 연직 높이

t_i=0일 때, 포물체를 +v_y, i 성분 방향으로 쏘아 올리는 상황을 떠올려 보자.

- 포물체는 최고점(v_y, (max)=0)을 지나 포물체를 처음 쏘아올린 수평면 높이로 되돌아온다.

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포물체운동의 분석에서 특별히 관심을 두는 위치는 다음과 같다.

① 최고점: 포물체가 가지는 최대 연직방향위치(y-) ⇒ 최고점의 xy좌표(x, y): (R/2, h)

② 최종점: 포물체가 가지는 최대 수평방향위치(x-) ⇒ 최종점의 xy좌표(x, y): (R, v_y, f=0)

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포물체 운동에서의 물리량과 그 특징

1. 수평도달거리: 포물체가 수평방향으로 나가간 최대거리로 그 크기를 R로 표현한다.

2. 최대높이: 포물체가 연직방향으로 올라간 최대높이로 최고점에서는 v_y, (max)=0을 만족한다. 따라서 아래와 같은 식을 세울 수 있다.

3. 최대높이 도달시(time at which the projectile reaches peaks): 포물체가 최대높이에 도달하는 데 걸린 시간으로 최대높이의 수식 조건으로부터 쉽게 유도할 수 있다.

PROOF. 최대 높이

최대높이 도달시를 대입해 최대높이를 계산할 수 있다.

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PROOF. 수평도달거리

[1] 포물체가 수평도달거리에 도달하기 위해선 최대높이 도달시의 2배가 되는 시간이 필요하다.

[2] 포물체의 수평도달거리는 성분을 이용하고 식을 활용한다.

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포물선 투사체의 속력과 도달거리 / 포물선 투사체의 투사각도와 도달거리 [University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.179(189)]

 

- sin값은 90도일 때 1이라는 최댓값을 가지기 때문에, 포물체가 45도로 발사되었을 때 최대수평도달거리에 도달한다.