[물리학-고전역학] 49. 벡터 미적분학: 컬(회전) | Curl

 

벡터 미적분학에서 다이버전스는 델 연산자와 벡터장의 내적으로 계산했다. 컬(회전, curl)은 벡터장의 회전 강도 및 방향을 나타내는 벡터 연산자로 델 연산자와 벡터장의 외적으로 계산한다.

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컬 | Curl

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참고로 행렬식은 아래와 같이 계산된다.

 

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컬 연산은 벡터장에만 작용하고, 연산의 결과로 또 다른 벡터를 산출한다.

• 물리적으로 curl은 어떤 장에서 임의의 미소사각영역을 가정하였을 때, 이것에 수직한 축 주위로 벡터함수가 어떻게 순환[그림 1]하는 지 방식을 알려준다.

 

 

그림 1

 

 

예를 들어 물과 같은 유체장은 속도를 갖는 벡터장이라 할 수 있다. 각각의 지점은 독특한 속도벡터를 가질 것이고, 여기에 만약 직선의 나뭇가지를 떨어뜨리면, 나뭇가지를 둘러싼 유체의 속도벡터의 차이 때문에 '회전'[그림 2]함을 직관적으로 알 수 있다.

 

그림 2

 

 

유체장의 흐름 방향에 의해 [그림 2]의 나뭇가지는 전체적으로는 오른쪽으로 움직일 것이다. 하지만 유체장에서 인접한 속도벡터 간의 차이 때문에 나뭇가지는 단순한 병진운동이 아닌 회전하며 이동할 것이며, curl은 이러한 '회전이 무슨 방향(시계방향 또는 반시계방향)으로 얼마나 빠른 지'에 대해 알려준다.

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컬의 해석

평면 영역 위에서, 압축되지 않는 액체유동의 회전방향은 (1)z-축의 k성분과 (2)오른손 법칙을 활용하여 그 방향성을 정의할 수 있다.

1. 반시계 방향의 회전은 양수이다.
2. 시계 방향의 회전은 음수이다.

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물이 얇은 층으로 xy-평면 상의 한 영역에서 움직일 때, [그림 3]과 같은 풍차를 (x_0, y_0) 지점에 설치했다고 하자.

• 풍차의 회전축은 z-축을 따라 놓였다.
• 풍차의 회전축은 xy-평면에 수직하여 (x_0, y_0) 지점에 설치되어 회전한다.
• curl은 풍차의 회전축을 중심으로 풍차의 날개가 '얼마나 빠르게 어느 방향으로 회전'하는 가를 측정한다.

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그림 3

 

 

점 (x, y)지점에서 벡터장 F가 아래와 같을 때,

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k 성분은 curl을 활용해 아래와 같이 구하며, 이는 벡터장 F의 순환밀도(circulation density)라고도 한다.

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평면 벡터장의 순환밀도 | Circulation Density in Two-Dimension

 

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위의 순환밀도가 양수이면 반시계방향으로 회전하고, 음수이면 시계방향으로 회전한다. 그리고 그 크기가 클수록 더욱 빠르게 회전을 한다.

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만약 벡터 F=<P, Q>=<y, 0>일 때, 순환밀도는 다음과 같이 계산될 것이다.