[물리학-고전역학] 47. 벡터 미적분학: 그래디언트(기울기) | Gradient

 

 

고전역학에서 다루는 많은 물리량은 벡터량으로 분류되고, 많은 공식은 벡터함수의 꼴을 갖는다. 벡터 미적분학(vector calculus)은 2차원 이상의 벡터의 다변수 실해석(실수집합을 다루는 해석학의 한 분야)과 관련한 미적분학의 한 분야로 벡터장 모델을 구현 및 해석하는 데 필수적이다.

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• 장(마당, field): 3차원 공간계를 예로 들면, 어떤 함수 중에서 독립변수가 공간의 위치인 좌표 x, y, z를 가지는 함수를 field라고 정의한다.

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스칼라장과 벡터장

Scalar Field and Vector Field

 

스칼라장

스칼라장(scalar field): 특정한 공간 속의 각 점에 대해 스칼라량을 대응시킨 공간장, 예를 들어 온도 분포가 존재하는 방을 생각할 때 특정 지점에서의 온도 T는 명백히 위치에 따른 함수임을 알 수 있다.

 

각 지점에 대한 온도 스칼라를 x, y, z로 대응했다.

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일반적인 스칼라장은 φ로 적으며, 각 지점에 대해 숫자가 대응되는 공간장을 아래와 같이 표현한다.

 

물리학에서 스칼라장은 대표적으로 온도 분포, 수압 분포, 공간 상 전위의 분포, 퍼텐셜 에너지 분포 등이 있다.

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스칼라장에서 각 점은 그래디언트(gradient)를 갖는데, 이는 그 지점에서의 힘의 크기 및 방향을 나타낸다.

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벡터장

벡터장(vector field): 특정한 공간 속의 각 점에 대해 벡터량을 대응시킨 공간장

• 스칼라장의 공간 위치가 스칼라량이라면, 벡터장의 공간 위치는 벡터량이다. ⇒ 스칼라량 공간위치는 x, y, z-축의 좌표 값인 반면, 벡터량 공간위치는 '위치벡터'를 들 수 있다.

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벡터장은 v로 일반적으로 적으며, 벡터장 함수는 아래와 같이 표현한다.

• x hat, y hat, z hat은 벡터에서 배운 단위벡터를 의미하고, 각각은 x-, y-, z-축을 나타낸다.
• 벡터공간의 각 점에 위의 벡터가 대응된다.
• 복소평면에서의 2차원 벡터장 또한 표현이 가능하다.
• 벡터장의 대표적인 예로는 중력장과 전기장, 그리고 자기장 등을 들 수 있다.

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그래디언트(기울기)

Gradient

 

앞서 잠깐 설명하였듯, 그래디언트는 벡터 미적분학에서 스칼라장의 최대 증가율을 나타내는 벡터장[그림 1]을 의미한다.

• 예를 들어 온도장의 그래디언트란, 온도의 증가율이 가장 큰 방향을 가리키는 벡터이다.
• 그래디언트를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때, (1)방향은 증가율이 최대가 되는 쪽이며, (2)크기는 증가율의 크기를 뜻한다.

그림 1. f(x, y)=xe^-(x^2+y^2) 함수의 그래디언트의 도식

 

 

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예를 들어 온도장과 같은 스칼라 함수 φ=φ(x, y, z)가 주어질 때, 각각의 독립변수에 대해 편미분하여 아래 항들을 구할 수 있다.

편미분으로 구한 값이 들어간 아래의 벡터는 물리적으로 매우 중요한 의미를 가지는데, 이 벡터 식을 스칼라장 φ의 그래디언트(gradient)이라고 한다.

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그래디언트 | Gradient

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• gradient 식의 ∇는 델(del) 또는 나블라(nabla)라고 하며, 이는 연산자로 아래와 같은 의미이다.

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델 | Del

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• 독립변수가 x, y, z인 스칼라장 함수의 도함수를 구하고 이를 벡터화하는 연산자(operator)
• 스칼라장에 del 연산자를 적용한 결과는 벡터장이다.

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위의 풀어쓴 식 대신 간단하게 그래디언트는 grad φ라 하고, 델은 del이라고 쓸 수 있다.

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그래디언트의 활용

gradient는 고전역학에서 대표적으로 (1)퍼텐셜에너지의 힘을 구하거나 (2)스칼라퍼텐셜의 장을 구하는 데 활용된다.

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먼저 퍼텐셜에너지 V의 힘은 아래와 같이 구한다.

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다음 스칼라퍼텐셜 φ의 장은 아래와 같이 구한다.

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gradient는 스칼라장의 최대 증가율을 나타내는 값으로, 스칼라의 기울기를 표현한다. 그리고 del 연산자(단위벡터 포함)에 의해 gradient는 벡터(량)의 결과 값을 갖는다.

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