좌표계: 기초

물리학의 주요 목표 중 하나는, 움직이는 세계에 대한 기술과 예측을 하는 것이다. 물체의 움직이는 모습을 묘사하기 위해서는 물체의 위치에 수를 대응시키면 되는데, 물체의 위치를 대표하는 수를 좌표(coordinate)라고 한다. 좌표를 정하기 위해서는 좌표계(coordinate system)가 필요하고, 이를 정하기 위해서는 4가지 요건을 충족해야 한다.

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1. 원점(origin, arbitrary point O): 물체의 좌표가 0으로 대표되는 위치

2. 좌표축: 운동의 차원을 기술하기 위한 방향 축(axis), 주로 'n'차원으로 차원축이 숫자로 표기된다.

3. 좌표축의 (+)방향(positive direction)

4. 좌표축 눈금의 간격(interval)

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1차원 계

좌표계의 가장 간단한 예시로 1차원 계는 실수(real numbers)로 구성된 수선(number line)이다.

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- 원점은 O(0)이고, 특정한 좌표 P는 O와 P 사이의 거리로 정의된다. 예를 들어 P에 고유한 좌표 값(a unique coordinate) 5가 주어져 있다면, P는 '원점으로부터 5만큼 떨어진 거리'로 정의할 수 있다.

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1차원 계를 이용해 1차원 상에서의 물체의 운동을 기술할 수 있다.

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1. 1차원 상에서 움직이는 물체의 위치는 한 개의 좌표로만 정해진다.

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e.g. 내가 있는 위치(원점)로부터 오른쪽으로 3m 이동한 물체

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2. 원점은 1차원 물체가 운동하는 선상에서 1회성으로 마음대로 정의가 가능하다.

3. 좌표축은 물체의 움직임 그 자체로 해석된다.

4. 1차원 좌표축에서 (+)방향은 '대개' 오른쪽으로 정의한다. ⇒ 물론, 임의로 왼쪽을 (+)방향으로 설정할 수도 있다! 그러나, 한 번 설정한 (+)방향은 이후 문제 풀이 시 다시 바꿀 수 없다.

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e.g. +20cm = 20cm만큼 오른쪽으로 움직인 물체

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5. 좌표축의 눈금 간격을 정한다.

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2차원 계(직각좌표계, Cartesian coordinate system in the plane)

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1. 2차원 계에서 물체는 '면(plane)'상에서 운동한다.

2. 2차원 계의 좌표축은 서로 직각(two perpendicular lines)이 되게 한다.

- 좌표축의 가로축은 x축(x-, x axis)이라 한다.

- 좌표축의 세로축은 y축(y-, y axis)이라 한다.

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3. 2차원 계의 (+)방향은 다음과 같다.

- x-의 (+)방향은 오른쪽이다.

- y-의 (+)방향은 위쪽(상)이다.

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원점과 좌표축의 눈금 간격은 마찬가지로 사용자가 임의로 정할 수 있다.

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3차원 계

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물체가 선이나 면에 한정되지 않고 공간(space)의 어느 곳이든 자유롭게 움직일 수 있는 경우, 세 개의 좌표가 주어져야 그 운동을 표현할 수 있다. 이 때 세 개의 좌표를 표기하기 위해 3차원 계를 사용한다.

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1. 임의의 원점을 먼저 설정하고 3개의 서로 직교하는 선을 각각의 좌표축으로 정의한다.

2. 3차원 계의 (+)방향은 오른손 좌표계를 이용한다.

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x축과 y축의 (+)방향을 먼저 정한 뒤 z축의 방향을 정하기 위해 '오른손 좌표계'를 사용한다.

- 엄지 손가락을 제외한 나머지 손가락들을 x축 방향에서부터 y축 방향으로 감싼다. (curl fingers of the right hand)

- 이 때, 오른손 엄지가 가리키는 방향이 z축의 (+)방향이다.

(1) 엄지를 제외한 나머지 손가락들이 반시계 방향(counter-clockwise)으로 x축에서 y축을 감싸면, z축은 위로 (+)방향을 갖는다.

(2) 엄지를 제외한 나머지 손가락들이 시계방향으로 x축에서 y축을 감싸면, z축은 아래로 (+)방향을 갖는다.

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마찬가지로, 좌표축의 눈금 간격은 사용자가 임의로 정할 수 있다.

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물리량

물리학은 물리량 간의 관계를 수식으로 정리하여 자연현상을 설명한다. 그런데 물리량에는 2가지 종류가 존재하고 이 둘은 서로 연산법이 다르다.

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1. 스칼라량(scalar quantities)

2. 벡터량(vector quantities)

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scalar와 vector는 본질적으로 '연산법'의 차이로 부터 기인하며, 그 연산의 대상(요소)으로 '크기'와 '방향' 등이 고려되었기에, scalar quantities를 '크기만 갖는(고려하는) 물리량'이라 부르게 되었다.

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Scalar

좌표계의 차원수 n과 무관하게 하나의 수(요소)로만 표시되는 양이다. 방향을 고려해야 하는 벡터나 텐서(tensor)와 다르게 물리량 계산에 방위가 무관한 것이 특징이며, 절댓값으로 표현된다.

- 스칼라 물리량은 대표적으로 온도, 속력(speed), 이동거리, 시간, 질량, 전하, 퍼텐셜(electric potential) 등을 들 수 있다.

- 스칼라 물리량은 1개의 숫자와 함께 단위(physical unit)가 주어진다.

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e.g. 45도씨(℃)

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n차원에서 스칼라의 요소 개수

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Vector

일반적으로 n차원의 공간을 설명할 때, n^1개의 요소를 고려해야하는 물리량을 n차원의 벡터라 한다.

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즉, 벡터는 차원수 n에 의존하는 물리량이다.

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n차원에서 벡터의 요소 개수

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예를 들어, 우리가 사는 공간은 3차원인데 3차원 공간의 벡터는 (3가지의 요소를) 3개의 수를 갖는다.

- 직각좌표계에서, 공간 상의 한 점 P의 위치(position)는 세 개의 좌표 값 (x, y, z)로 표현된다.

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그림 1.1 v = <2, 3, 5>

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O에서 P까지의 '변위(displacement)'는 대표적인 물리벡터량 중 하나이며, 변위는 각각의 좌표축에 상응하는 요소 값들로 구성된다.

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Displacement

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그림 1.1에서 변위는 O에서 P까지의 거리를 그은 화살표로 표기되며 값은,

으로 구할 수 있다.

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