벡터량의 정의와 수

우주의 법칙은 자연현상을 나타내는 물리량(physical quantities) 간의 수식들로 나타난다. 그리고 이 물리량은 '연산법'에 따라 2가지로 나뉜다.

- 물리량은 자연의 한 현상을 수로 대표한다.

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1. 스칼라량(scalar quantities)

2. 벡터량(vector quantities)

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두 가지 물리량은 자연 현상을 '몇 가지 수'로 정할 수 있느냐에 따라 서로 구분된다.

- 3차원 공간에서 일어나는 자연현상을 기술할 때, 3^0=1개의 수로 대표되는 물리량을 스칼라량이라고 한다.

- 같은 조건으로, 3^1=3개의 수로 대표되는 물리량을 벡터량이라고 한다.

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n차원에서 스칼라의 조건과 벡터의 조건을 참고하도록 하자.

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예를 들어 100도씨의 끓는 물은 다른 두 컵에 담겨져 있다고 해도, 모두 '1개의 (온도) 차원'으로 서로를 비교할 수 있다. 따라서 온도(temperature)는 스칼라량이다. 한편, 테이블에 놓인 네모난 주사위에 동쪽, 그리고 서쪽으로 각각 같은 '크기'의 힘을 주었다고 가정해보자. 이때 주사위는 힘을 준 '방향'으로 '가속'을 시작할텐데, 두 힘이 비록 같은 크기로 주어졌으나 그 결과가 같지 않으므로, 힘은 두 가지 수 이상을 고려해야하는 물리량, 즉 벡터량임을 알 수 있다.

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크기와 방향, 그리고 수

2차원의 벡터

그림 2.1

물리량을 나타내는 경우, 벡터는 xy좌표 상 (기하학적으로) 화살표(그림 2.1)로 표현되며, (2차원 상에서 벡터는) '화살표의 방향'과 '화살표의 길이'로 양적으로 표현된다.

- 화살표의 방향과 벡터의 방향은 서로 일치한다.

- 화살표의 크기와 벡터의 크기는 서로 일치한다.

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벡터 화살표가 시작되는 지점을 좌표계의 원점으로 잡으면, 벡터의 두 수는,

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(1) 화살표의 길이와

(2) +x축에서 벡터 사이의 각 θ

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라 할 수 있다. 즉, 벡터의 두 수를 알면 누구나 화살표를 그릴 수 있다.

 

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컴포넌트 벡터: 각 축 방향성분으로 대표된 벡터

 

그림 2.2

벡터 A를 살펴보자.

- 벡터 A는 크기 A의 +x축과의 벡터 사이각을 갖는 벡터로 각 축의 방향성분으로 성분벡터로 분리할 수 있다.

- 화살표의 끝부분부터 x축으로 내린 수선이 x축과 만나는 점까지의 벡터 크기를 벡터 A sub x라고 한다.

- 화살표의 끝부분부터 y축으로 그은 수선이 y축과 만나는 점까지의 벡터 크기를 벡터 A sub y라고 한다.

2차원 벡터의 이 두 성분벡터(component vectors)을 알면 원점으로부터 뻗어나오는 벡터 A의 화살표를 그릴 수 있다.

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2차원 상에서 벡터를 대표하는 두 수는 결국 다음과 같이 정리할 수 있다.

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2차원 상의 벡터를 대표하는 두 수는 (1)벡터 크기, +x축과 벡터 화살표 사이각, 또는 (2) 벡터의 x, y축 방향 성분벡터들이다.

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3차원의 벡터

그림 2.3

3차원 공간에서 벡터는 3개의 수를 가지며, 세 가지 수는 다음과 같다.

- 벡터의 크기

- 극각

- 방위각

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먼저, 극각이란 그림 2.3에서 각 θ로 벡터의 방향이 z-과 이루는 각이다. 한편, 방위각은 각 Φ로 xy평면에 투영한 선이 +x축과 이루는 각이다.

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마찬가지로, 3차원 벡터의 컴포넌트 벡터 역시 3개로, 아래와 같은 관계식이 성립한다.

3차원 상의 벡터를 대표하는 세 수는 (1)벡터 크기, 극각, 방위각, 또는 (2) 벡터의 x, y, 그리고 z축 방향 성분벡터들이다.

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물리학에서의 스칼라량과 벡터량

물리학에서 등장하는 물리량은 스칼라량과 벡터량으로 나뉘며, 수적인 측면 이외에도 다음과 같은 특성을 공유한다.

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스칼라량

1. 스칼라량은 좌표변환(coordinate transformation)에 의존하지 않는다. (Thornton, Classical Dynamics 5th edition)

2. 스칼라량끼리는 대수학적 산술 규칙(대수학적 계산)을 따른다.

3. 어떤 스칼라량은 음수부호를 갖는다. e.g. 음전하 -q

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벡터량

1. 2차원 이상의 좌표계에서 벡터량은 특정한 '방향'을 가지며, 이에 따라 결과 값이 '각도'에 의존한다.

2. 벡터량끼리는 벡터연산을 따른다. ⇒ 수학적으로 벡터는 벡터공간(vector space; 벡터 연산이 가능한 공간)의 원소로서 정의된다.

- 벡터의 수학적 연산은 (1)좌표계의 설정 이후 (2)벡터의 수끼리 연산하는 방식이다.

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