벡터량의 계산: 벡터의 사칙연산

벡터의 특성

등가벡터

두 벡터가 동등하다는 뜻은 두 벡터의 크기와 방향이 모두 같음을 의미한다. 이때, 벡터가 놓인 위치는 무관하다.

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두 벡터의 관계

1. 평행(parallel to)

2. 반대(anti-parallel to)

3. 역벡터: 양의 벡터 A에 대해 음의 벡터(negative vector)는 같은 크기의 역방향성을 갖는다.

4. 등가(equal)

5. 수직(orthgonal to)

fig4.1

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벡터의 합

두 벡터 A와 B의 합을 R이라 하면, 벡터의 '합 벡터'는 다음과 같이 정의한다.

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합 벡터(resultant, vector addition)

- 벡터 R은 벡터 A의 꼬리에서 벡터 B의 머리까지 연결한 벡터이다.

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Tail to Head Method

벡터 R은 두 벡터의 합의 첫 번째 벡터의 '꼬리(tail)'에서 두 번째(마지막) 벡터의 '머리(head)'까지 연결한 벡터이다.

fig4.2

벡터의 덧셈 시, 두 가지 덧셈 법칙이 성립한다.

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1. 교환법칙(commutative law of addition)

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2. 결합법칙(associative law of addition)

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일반적인 commutative law와 associative law와 마찬가지로 벡터의 합도 같은 법칙이 성립한다.

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Zero Vector

양의 벡터 A에 음의 벡터 -A를 더하면, 그 합은 제로벡터(zero vector)가 된다.

- 영벡터의 크기는 0이다.

- 영벡터의 방향은 정해지지 않는다.

fig4.3

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벡터의 차

차 벡터(vector subtraction)

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차 벡터의 두 번째 식은 negative vector와 resultant의 성질을 조합한 차 벡터의 또 다른 정의이다.

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fig4.4

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벡터의 곱

먼저, 벡터에 스칼라량을 곱한 값을 scalar multiple(스칼라량 곱결과)이라 하며, 식은 다음과 같다.

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scalar multiple

- 크기: 벡터 A의 크기에 상수 c배(multiplication)한 값

- 방향: 벡터 A의 방향과 일치한다.

- scalar multiple은 scalar product와 다르다!

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미분적분학에서, vector 연산자의 성질(properties of vector operations)은 다음과 같다.

fig4.5

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벡터끼리 곱하기

앞선 벡터의 곱은 벡터와 '스칼라'의 곱 연산을 다루었다. 한편, 벡터끼리 곱하는 방법은 그 결과의 물리적 성질에 따라 2가지로 나뉜다.

1. 스칼라곱(scalar product)

2. 벡터곱(vector product)

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스칼라곱(scalar product, dot product)

- 정의: 벡터 A에 대해 B 사영을 곱한 값

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벡터 B에 대해 A 사영을 곱해도 같은 값을 갖는다. ⇒ 스칼라곱의 교환법칙 성질 참조!

fig4.6

fig4.6은 벡터 B에 대한 A의 사영을 묘사하고 있다.

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dot product의 사영(projection)은 양수, 음수, 또는 0의 값을 가진다.

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1. cosθ>0, 0~90도 미만, 양의 사영

2. cosθ=0, 90도, cos90은 0이므로 스칼라곱 또한 0이 된다. ⇒ 수직인 두 벡터의 스칼라곱은 언제나 0이다.

3. cosθ<0, 90도 초과~180도 미만, 음의 사영

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스칼라곱의 성질

스칼라곱은 2가지 성질을 만족한다.

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1. 스칼라곱의 교환법칙(commutative law of multiplication for scalar product)

2. 스칼라곱의 분배법칙(distributive law of multiplication for scalar product)

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벡터곱(vector product, cross product)

- dot product의 결과와 달리 cross product의 결과는 벡터량이다.

- 벡터곱의 크기: 어떤 두 벡터의 벡터 곱의 크기는 제 3의 벡터 C의 크기인 ABsinθ와 같다.

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- 벡터곱의 방향: 벡터 C의 방향은 오른손 법칙으로 확인할 수 있다.

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fig4.7

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벡터곱의 성질

1. 역교환법칙(anti-commutative law of multiplication for cross product)

- 벡터곱의 순서가 바뀔 때 (-)부호가 첨가되었음에 주목하자! ⇒ 즉, cross product는 commutative law가 성립하지 않는다!

- 그러나, 벡터곱의 부호끼리는 서로 교환이 가능하다.

벡터곱의 결과 두 벡터가 서로 나란하다면(평행) 벡터 C는 0이 된다. 그러나, 벡터 A와 벡터 B가 서로 수직한다면 C는 벡터 A, B의 크기를 곱한 값(AB)으로 최대치를 갖는다.

2. 분배법칙(distributive law of multiplication for cross product)

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