[Mechanics] 중력 퍼텐셜에너지 공식 유도 | Derivations of Gravitational Potential Energy

그림 1. Gravitational potential energy is converted back into kinetic energy.

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퍼텐셜에너지(potential energy): 물체가 어떤 위치에 존재함으로써 '잠재적'으로 얼마의 일을 할 수 있는 지 알려주는 수치(척도)

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중력 퍼텐셜에너지의 유도

그림 2. 물체가 수직방향(지표면) 위로 일정한 속력을 갖기 위해선, 서로 다른 방향의 외력과 중력이 같은 크기로 상쇄되어야 한다.

질량 m인 물체가 수직방향으로 놓인 y축 위에서 움직인다고 하자.

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[1] 물체가 y축을 두고 아래로 움직일 경우, 무게가 물체에 해준 일은 (+)의 부호를 갖는다.

[2] 물체가 y축을 두고 위로 움직일 경우, 무게가 물체에 해준 일은 (-)의 부호를 갖는다.

[3] 두 경우에서 W_g 값을 mgy라는 새로운 값으로 표현할 수 있다.

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Gravitational Potential Energy with constant g

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중력 퍼텐셜에너지의 변화량은 나중 값에서 처음 값을 뺀 값이다.

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Difference between Final PE and Initial PE

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y_1에서 y_2로 물체를 이동시키는 데 중력이 한 '일'과 PE는 다음과 같은 관계식을 갖는다.

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퍼텐셜에너지의 일표현

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- 중력 퍼텐셜에너지의 일표현에서 (-)부호는 반드시 들어가야 한다!

(1) 물체를 위로 움직이면 W는 (-)부호를 갖는다. 하지만 물체의 중력 퍼텐셜에너지는 '증가'하고 이 둘의 부호를 맞추기 위해 중력에너지의 변화량에 (-)부호를 첨가한다.

(2) 물체를 아래로 움직이면 W는 (+)부호를 갖는다. 하지만 중력 퍼텐셜에너지는 '감소'하고, 이 둘의 부호를 맞추기 위해 중력에너지의 변화량에 (-)부호를 첨가한다.

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Gravitational Potential Energy에 Law of Gravitation 적용하기: 만유인력 퍼텐셜에너지 구하기

중력 퍼텐셜에너지 식 mgy는 중력의 크기와 방향이 일정함을 가정했다. 그러나 지구 밖에서는 지표면 상의 중력 가속도 값이 변하기 때문에 더 일반적인 PE 식이 필요하다.

그림 3. 두 입자시스템의 Law of Gravitation

[1] law of gravitation은 r의 변화가 큰 중력(무게)을 구하는 식으로 적합하다.

- m_E: 지구의 질량

- m: 지구 외부에 있는 물체의 질량

- r: 지구 중심으로부터 물체까지의 거리

그림 4. law of gravitation이 적용된 거리-PE 그래프

[2] 만유인력에 의한 퍼텐셜에너지란, 질량 m을 가진 물체가 중력이 작용하는 공간 내에서 힘을 받아 거리 r에서 무한대 거리까지 이동하면서 저장된 에너지이다.

- r에서 무한대의 거리까지 물체를 이동시키는 중력의 일을 구할 수 있다.

[3] 중력 에너지퍼텐셜의 일표현을 통해 새로운 퍼텐셜에너지의 표현을 구할 수 있다.

만유인력의 퍼텐셜에너지: General Gravitational Potential Energy

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