Jules Verne, 1828-1905, French
프랑스가 낳은 위대한 작가 쥘 베른이 쓴 소설 『지구에서 달까지(From the Earth to the Moon)』(1865)에는 거대한 대포를 이용해 3명의 사람을 실어 달로 쏘아 보내는 장면이 있다.
그림 1. 소설 속에 등장하는 땅 속 거대한 대포알, 배경은 미국 플로리다
만유인력의 역학적 에너지 총량과 거리에 대한 퍼텐셜에너지 함수 그래프의 특성을 이용해 지표면으로부터 지구를 탈출할 수 있게 하는 물체의 탈출속도(escape velocity)를 계산할 수 있다.
그림 2. Escape Velocity and Orbital Velocity(공전속도)
그림 3. 물체 탈출의 초기상황과 최종상황
[1] 대포는 지표면 상으로부터 발사된다. 포구를 떠난 대포알은 이후 '만유인력'만의 영향을 받는다고 가정하자.
- 대포알의 질량은 m이다.
- 공기저항은 무시한다.
[2] 대포알과 지구는 서로 만유인력을 작용하고 있고, 따라서 역학적 에너지의 총량은 항상 보존된다.
[3] 지표면으로부터 탈출속도를 갖는 물체는 우주를 향해 무한대의 거리로 나간다. 따라서 최종 퍼텐셜에너지 값은 반드시 0 이상의 값을 가져야 한다.
- 물체의 탈출속도란, 어떤 물체가 천체와의 만유인력을 이겨내고 무한히 멀어질 수 있는 최소한의 속도를 의미한다.
그림 4. Gravitational PE의 그래프를 통해 무한대로 나아간 물체의 PE가 0임에 근사함을 알 수 있다.
[4] 물체가 행성의 만유인력을 극복하는 시점에 다음 관계식을 만족한다.
(1) 어떤 물체가 만유인력에 구속된 상태에서 역학적 에너지의 총량은 다음 부등호를 만족한다.
(2) 한편, 어떤 물체가 만유인력의 구속 상태에서 '처음으로 벗어날 때' 역학적 에너지의 총량은 다음 부등호를 만족한다.
Escape Velocity
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그림 5. 행성 별 탈출속도
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