어떤 물체가 일정한 속력으로 원운동을 할 경우, 이를 등속원운동(uniform circular motion)이라 한다.
- 한 물체가 일정한 속력으로 일정한 반지름을 갖는 궤도 상에서 움직일 때 uniform circular motion을 만족한다.
그림 1. 한 점이 일정한 속력으로 원주 상 거리를 Δs만큼 움직인다.
[1] 등속원운동을 하는 물체의 원 중심점은 O이고, 반지름이 R인 원 궤도 상에서 일정한 속력을 가지고 물체가 원운동을 한다고 가정하자.
[2] [그림 1]에서 입자는 시간 Δt동안 P_1에서 P_2로 움직였다.
- 속도벡터 v(t)=v_1과 v(t+Δt)=v_2로 물체의 움직임을 표현할 수 있다.
- [그림 1]의 (a)와 (b)의 두 삼각형은 서로 닮은 꼴이다.
[3] 대응하는 변의 비(ratio)가 서로 같기 때문에 다음과 같은 수식을 쓸 수 있다.
- |Δv|:Δs=|v_1|:R
[4] 평균가속도의 크기
[5] 등속원운동은 속력이 일정한 '가속도 운동'이고, 이 때문에 '순간가속도'를 구하는 것이 움직임 분석에 결정적이다.
- 순간가속도는 평균가속도의 극한 값이다. ⇒ 점 P_2에서 점 P_1으로 접근할 때의 평균가속도의 극한
- P_1은 경로 상 어느 점에서나 가능하므로 아래 첨자는 제거할 수 있다.
등속원운동 가속도 크기(Magnitude of Acceleration of an Object in Uniform Circular Motion)
- v: speed of object
- R: radius of object's circular path
■
그림 2. 순간가속도의 방향은 항상 원의 반지름을 따라 원중심 O를 향한다.
등속 원운동에서 순간가속도의 크기는 속력의 제곱을 원의 반지름으로 나눈 것이다. 그리고 그 방향은 속도벡터 v와 중심을 향하는 반지름이 이루는 평면에 수직한다.
가속도가 항상 원의 중심을 향하기 때문에 이 가속도를 구심가속도(centripetal acceleration)라고 한다.
등속원운동의 다른 물리량
등속원운동을 하는 물체가 원을 완벽하게 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 주기(period, T)라 정의한다.
- 시간 T동안 입자는 속력 v로 원주인 2πR만큼을 움직인다.
thus,
등속원운동의 가속도 크기 식에 period 식을 대입하면 새로운 표현을 얻을 수 있다.
EXAMPLE 1. 헬리콥터
일반적으로 헬리콥터는 4개의 날개를 가지며 각 날개의 길이는 3.50m이다. 1분에 약 550바퀴를 회전한다고 할 때 아래 물음에 답하시오.
(a) 날개 끝 부분의 선속력은 얼마인가?
(b) 날개 끝의 구심 가속도를 중력가속도 g의 곱으로 구하시오.
□
EXAMPLE 2. 최대구심가속도
레이싱카가 원형 경로를 주행할 때 구심가속도를 갖는데, 이때 미끄러지지 않고 얻을 수 있는 최대구심도의 크기가 다음과 같다.
만일 레이싱카가 40m/s의 일정한 속력으로 주행한다면, 이 차가 돌 수 있는 최소회전반지름은 얼마인가?
(단, 길에는 경사가 없다.)
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EXAMPLE 3.
질량이 25.0kg인 물체가 마찰이 없는 빙판 위에 정지해 있다. 이 물체는 5.00m인 줄에 의해 연결, 고정되어 있으며, 구심력에 의해 이후 기둥 주위로 등속원운동을 하며 회전하기 시작했다. 분당 6번을 회전할 때, 줄이 물체에 작용하는 힘을 구하시오.
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EXAMPLE 4. 원뿔진자
그림 3
질량이 m인 추를 길이가 L인 줄에 매단 진자가 있다. 이 진자는 앞뒤로 진동하는 대신 일정한 속력 v로 수평면에서 원운동을 하는데, 이때 줄은 연직선과 일정한 각도 β를 유지한다.
줄의 장력 F와 주기 T를 각도 β를 포함해 표현하시오.
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EXAMPLE 5. 경사면 원형도로
그림 4
원형도로를 경사지게 만들어, 마찰이 없더라도 자동차를 일정한 속력으로 회전주행 시킬 수 있다. 경사면의 각 β가 얼마가 되어야, 자동차가 등속력 v로 원운동을 할 수 있는 지 구하시오.
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