삼각함수의 극한

미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다.

 

사인 함수

sinx의 극한

 

식 1

 

-|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다.

 

 

sinx/x의 극한

식 2

 

x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다.

 

 

sinπ/x의 극한

 

존재하지 않는다.

 

 

x^2(sin(1/x))의 극한

 

부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면,

 

식 3

 

식 3을 얻을 수 있다.

 

식 4

 

식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다.

 

 

코사인 함수

cosx의 극한

 

 

모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고, 극한법칙에 따라 lim_{a→0}cosx=1(식 5)을 유도할 수 있다.

 

식 5

 

cosx-1/x의 극한

 

 

탄젠트 함수

tanx/x의 극한

 

 

이외에도,

 

 

와 같은 탄젠트 함수 관련 극한 값들이 있다.