극한의 부정형(Indeterminate Forms) 계산과 로피탈의 정리(L'Hospital's Rule)

0/0 부정형

f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자.

 

식 1

 

f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다.

 

x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤,  0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다.

 

EXAMPLE 1.

다음 식을 구하시오.

식 2

 

SOLUTION.

식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다.

 

 

분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자.

 

 

답은 2이다.

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EXAMPLE 2.

다음 식을 구하시오.

□

 

∞/∞ 부정형

 

여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다.

 

따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다.

 

∞/∞ 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는, f(x)/g(x)의 분모 항에 존재하는 가장 높은 지수의 x(the highest power of the fraction)를 찾아 분자와 분모 모두에 이 값을 나눔으로써 구할 수 있다. 자세한 계산 과정은 예제를 통해 확인하자.

 

EXAMPLE 3.

 

식 3

 

SOLUTION.

 

f(x)/g(x)(식 3)에 존재할 수 있는 가장 높은 분모의 차수의 x는 x^30이다.

 

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로피탈의 정리(L'Hopital's Rule)

 

Guillaume de l'H ô pital (1661~1704, 프랑스)

 

요한 베르누이의 제자이자 프랑스의 수학자 로피탈(Guillaume de l'Hôpital, 1661~1704)은 '재정적 도움'을 조건으로 베르누이가 발견한 아이디어를 자신에게 팔 것을 요구했다. 베르누이의 승낙 후, 로피탈은 자신의 저서 『Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes』(1696)에 이 내용을 실었는데, 이것이 훗날 로피탈의 정리로 불린다.

 

로피탈의 정리

 

 

식 4

 

단, f, g가 a 근방에서 미분가능하고, g'(x)≠0이다.

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PROOF. 로피탈의 정리

 

로피탈 정리의 증명은 식 4가 성립하는 지를 확인하면 된다.

 

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로피탈 정리의 유의점

 

1. 로피탈 정리를 사용하기 전, f와 g의 극한에 대한 조건을 반드시 확인하자.

2. 로피탈 정리를 사용할 때, 분모와 분자는 각각 따로 미분해야 한다. 몫의 법칙은 사용하지 않는다.

3. 로피탈 정리는 일방향의 극한 뿐만 아니라 무한이나 음의 무한 극한에 대해서도 성립한다.

 

EXAMPLE 4.

다음 식을 구하시오.

 

 

SOLUTION.

 

f(x)와 g(x)는 각각 lnx, x-1이다.

 

[1] f' 구하기

 

[2] g' 구하기

 

 

[3] 식 4 활용

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