자연로그 밑 e(무리수 e, 오일러 상수, 네이피어 상수)

 

잉글랜드의 수학자 오트레드(William Oughtred, 1574~1660, 잉글랜드)의 초상화와 그가 저술한 『수학의 열쇠 Clavis Mathematicae』(1631)

자연로그 밑 e

자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다.

 

식 1

 

u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다.

 

식 2

 

그래프 표현

 

함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다.

 

 

f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다.

 

 

e의 역사

무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, 1550~1617, 스코틀랜드)에 의해서이다. 하지만 그는 로그표를 작성하던 중 여러 가지 계산의 결과 값 중 하나로 e를 다루었을 뿐 오늘날처럼 상수로 취급하진 않았다. 후일 오트레드의 저서 『수학의 열쇠』를 통해 네이피어의 로그표가 널리 보급되면서 e의 존재가 함께 소개되지만 그 역시 저서에서 e를 특별한 상수로 취급하지 않았다.

 

e를 상수로 간주한 최초의 인물은 스위스의 수학자 야코프 베르누이(Jakob Bernoulli, 1655~1705, 스위스)이며, 그는 무한급수(infinite series)의 형태로 e를 정의했다.

 

 

Jakob Bernoulli (1655~1705, 스위스 바젤)

 

베르누이가 급수의 형태로 정의한 무리수 e는 이후 라이프니츠와 네덜란드의 수학자 하위헌스에 의해 처음에는 'b'로 간단히 표기됐다.

 

Christiaan Huygens (1629~1695, 네덜란드, 덴하흐(헤이그))

 

Leonhard Euler (1707~1783, 스위스, 바젤)

 

그러다 자연로그 밑이 개념적으로 정착되면서, 스위스의 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783, 스위스)는 무리수를 'e'로 쓰기 시작했고(1727~1728), 이후 자신의 저서 『Mechanica, 메카니카』(1736)에서는 공식적으로 자연로그 밑을 'e'로 작성했다.

 

 

정적분 정의

 

자연로그의 특수성은 y=1/x의 특이한 성질에 기인하는데, 정적분의 개념을 활용해 상수 e를 도출할 수 있다.

 

식 3

 

식 3의 해를 구하면 a=2.71828...로 e와 같다.