【물리학 - 고전역학】 11. 가속도

 

물체의 '속도'가 시간에 따라 변화할 때, 입자는 '가속(加速, accelerated)되고 있다'고 표현한다.

• 자동차가 직선 도로를 달리다가 정지하는 것 또한 가속도 운동 중 하나인데, 이는 물리학적으로 (1)속도가 변한다 또는 (2)가속도 운동을 한다라고 표현한다.
• 가속도의 정의: 물체의 운동 속도가 변할 때, 단위 시간 당 속도의 변화량
• 가속도는 '힘(force)'에 의해 발생한다. ⇒ 어떤 물체의 가속도는 반드시 그 물체에 힘이 가해진 결과와 같다.
• 속도의 변화양상은 (1)속도 크기의 변화와 (2)속도 방향의 변화로 구분된다.
• 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터량이다. ⇒ 가속도의 방향은 힘의 방향과 같다.

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1. 속력의 변화: 직선상에서 속력이 변하는 물체의 운동으로 방향은 고정되어 있다. e.g. 직선 등가속도 운동
2. 방향의 변화: 궤도상에서 방향이 변하는 물체의 운동으로 속력은 고정되어 있다. e.g. 등속 원운동
3. 속력과 방향의 변화: 속력과 방향 모두 변하는 물체의 가속운동 e.g. 지구 자기장에 진입한 태양풍 입자의 나선운동*

 

그림 1. 지구 자기장에 진입한 태양풍 입자(+)의 나선운동

 

 

밴 앨런대(Van Allen belt): 태양풍에 의해 지구의 자기장 권역 내로 유입된 대전된 입자들이 지구의 자기장에 의해 붙잡혀 남북으로 나선 왕복운동을 하는 영역 ⇒ 자기장 속에서 대전된 입자들은 로런츠 '힘'을 받는데, 이 힘에 의해 '가속도'가 발생하고 이는 '방향의 변화'라는 결과를 갖는다. 지구의 적도를 도넛 모양으로 둘러싸며, 크게 내대(inner belt)와 외대(outer belt)로 구분한다. 내대: 높이는 지구로부터 약 3,000km이고, 고에너지의 양성자와 전자가 분포해 있다. 외대: 높이는 지구로부터 약 16,000km이고, 주로 전자로 구성되어 있다. ​ 지구의 자기장과 밴 앨런대에 의해 우주 방사선 및 태양풍이 차단되는데, 이에 따라 지구상의 생명이 살 수 있게 된다.

 

그림 2. 밴 앨런대 단면 [출처: Wikipedia, "밴 앨런대"]

 

밴 앨런대는 지구의 불균일한 자기장에 의해 태양이나 우주 공간에서 날아온 전하들이 갇힌 공간이다. 밴 엘런대의 자기장은 자기병의 형태로 되어 있어, 전하가 극과 극 사이를 나선형으로 그리며 진동 운동을 하는데, 이때 극지방에서 전하들이 대기 중의 산소분자나 질소분자와 충돌하면서 가시광선을 내뿜게 된다. 이것이 우리가 잘 아는 오로라의 원리이다.

 

힘과 가속도

Force and Acceleration

 

가속도는 일정한 질량을 가지고 있는 물체에 힘이 가해짐으로써 발생한다.

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마찰이 없는 수평면을 가로질러, 질량을 가진 물체를 미는 실험을 하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

• 물체를 수평방향으로 힘을 F만큼 가하면, 물체는 a만큼 가속한다.
• 물체를 수평방향으로 힘을 3F만큼 가하면, 물체는 3a만큼 가속한다. 즉, 가속도는 물체에 작용한 힘의 크기와 비례한다.
• 질량이 m인 물체에 수평방향으로 힘을 F만큼 가하면, 물체는 a만큼 가속한다.
• 질량이 2m인 물체에 수평방향으로 힘을 F만큼 가하면, 물체는 a/2만큼 가속한다. 즉, 가속도는 물체의 질량에 반비례한다.

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가속도-힘-질량 관계

 

 

 

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의미: 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 알짜힘에 비례하고 물체의 질량에는 반비례한다.

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앞선 1[N]의 정의를 가속도-힘-질량 관계에 대입하면 나중에 배울 운동 방정식을 유도할 수 있다.

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평균가속도와 순간가속도

Average Acceleration and Instantaneous Acceleration

 

평균가속도란, 속도의 변화를 변화가 일어난 동안의 시간간격으로 나눈 값이다.

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평균가속도

 

 

 

 

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한편, 순간가속도란, 시간간격을 0으로 접근시킬 때 평균가속도의 극한 값이다.

• 어떤 순간 지점에서의 속도를 시간으로 미분한 것

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순간가속도

 

 

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위의 식은 x-에 놓인 물체의 속도를 기준으로 작성된 식이다.

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가속도의 단위는 [m/s^2]이다.

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또한, 일반적으로 가속도라는 단어는 순간가속도를 의미한다.

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속도-시간 그래프

v-t Graph

 

입자의 순간가속도는 속도-시간 그래프 상의 한 점의 접선 기울기와 같다. 시간에 대한 속도의 도함수는 속도의 시간변화율과 같다.

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그림 3. 속도-시간 그래프(v-t graph)에서 순간가속도는 한 점에서의 접선 기울기를 찾는 것과 같다.

 

직선상에 움직이는 물체의 운동

1. 물체의 속도와 가속도가 서로 같은 방향이라면 물체의 속력은 증가한다.
2. 물체의 속도와 가속도가 서로 반대 방향이라면 물체의 속력은 감소한다.

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참고로 이계 도함수로는 아래와 같이 가속도 식을 쓸 수도 있다.

 

 

그림 4

 

[그림 4]와 같은 v-t 그래프가 있다고 했을 때 아래와 같이 물체의 운동을 분석할 수 있다.

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1. A: 기울기가 증가(+)하는 방향으로, 물체의 속도가 (+)일 때, 가속도의 방향(+)과 일치하므로 물체의 속력은 증가할 것이다.
2. B: 기울기가 일정(0)하므로, 가속도의 크기는 0이다. 물체의 속력 또한 일정하다.
3. C: 기울기가 감소(-)하는 방향으로, 물체의 속도가 (+)일 때, 가속도의 방향(-)과 서로 반대이므로 물체의 속력은 감소할 것이다.
4. D: 기울기가 일정(0)하므로, 가속도의 크기는 0이다. 속도 또한 0이므로 물체는 더 이상 움직이지 않는다.

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