[Mechanics] 퍼텐셜에너지로 힘 구하기 | Derivation of Forces from Potential Energy

중력과 탄성력은 conservative force에 속하며 이들의 PE는 '위치의 함수'로 주어졌다. 힘과 변위로부터 일을 구해 퍼텐셜에너지를 정의했듯이, 위치함수로 주어진 PE로부터 힘을 구할 수 있다.

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퍼텐셜에너지로부터 힘 구하기

[1] 미소변위에 대한 힘 F_x의 일은 F_xΔx로 계산할 수 있고, 보존력이 한 일은 위치에너지의 변화량의 (-)의 값이다.

- 식 (b)는 Relationship between Work and Difference of Potential Energy(퍼텐셜에너지의 변화량)와 같다.

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[2] 과정 [1]의 식 (a)를 F에 대해 풀 수 있다.

[3] 과정 [2]의 W는 [1]의 식 (b)와 같다.

[4] Δx→0이면, F_x의 변화는 무시할 수 있다.

Conservative Force in One Dimension

- 1차원 상의 퍼텐셜 에너지의 변화량으로 1차원의 보존력을 구할 수 있다.

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Conservative Force의 일반식에서 나타나는 특징은 다음과 같다.

1. F_x가 x축의 양의 방향으로 작용하면, x의 증가에 따라 U(x)는 감소(해야) 한다.

2. F_x와 dU/dx는 서로 반대 부호를 갖는다.

3. 보존력이 system에 작용할 경우, 계의 가장(혹은 상대적으로) 낮은 퍼텐셜에너지를 향하도록 작용한다.

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Gravitational Force

그림 1. y의 함수로 나타낸 중력 퍼텐셜에너지와 중력

중력 PE, mgy를 이용해 g가 일정한 gravitational force를 구할 수 있다.

Elastic Force by a Spring

그림 2. x의 함수로 나타낸 탄성 퍼텐셜에너지와 탄성력

탄성력 PE, (kx^2)/2를 이용해 elastic force를 구할 수 있다.

위의 결과는 이상적인 용수철이 가한 힘에 관한 정확한 표현이다.

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3차원 상의 보존력

현실 세계의 다수의 실제 입자는 공간에서 x, y, z축으로 자유롭게 움직일 수 있다. 따라서 입자의 PE 함수 U 역시 3차원 상을 고려한 U(x, y, z)라 할 수 있다.

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앞선 F_x 식은 x축 성분에 한정된다. 만약 y축과 z축으로 차원을 확장시킨다면, 보존력은 각 axis에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.

입자의 U(x, y, z)는 세 좌표의 함수이므로 식 dU(x, y, z)/dx를 계산한다면,

(1) x 성분은 변수로

(2) y, z 성분은 상수로 간주하여

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값을 구한다.

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편도함수(partial derivative)의 개념을 이용해 퍼텐셜에너지에서 보존력을 유도할 수 있다.

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Conservative Force in Three Dimension

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힘 F를 단위벡터를 이용해 표현할 수도 있다. ⇒ U의 기울기(gradient)

- 델(del)

- 3차원 상의 보존력

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