【2022 물리학 | 고전역학】 벡터 Vectors

좌표계 Coordinate Systems

 

데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system): 원점 O를 기준으로 서로 수직인 두 축으로 구분된 이차원 평면

Fig 1. 데카르트 좌표계에서 점의 표현

- 또 다른 이름으로는 직각좌표(rectangular coordinate)로 불린다.

- [Fig 1]과 같이 직각좌표의 좌표는 축의 위치에 따라 (x, y)로 표현된다.

- 평면상의 한 점을 표현할 경우 평면극좌표계(plane polar coordinate)를 사용하는 것 또한 편하다.

Fig 2. 평면극좌표와 직각삼각형 표현

 

※ 평면극좌표의 요소

① r: 직각 좌표의 원점 (0, 0)으로부터 한 점의 위치 (x, y)까지의 거리

② θ: 원점에서 주어진 점까지 그은 선분과 고정된 x-축(x-axis; x-) 사이의 각도

- 고정된 x-은 +x축을 의미한다.

- θ의 각도는 시계반대방향으로 측정(measured counterclockwise)한다.

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[Fig 2]는 평면극좌표로부터 직각좌표를 얻는 방법이다.

 

벡터양과 스칼라양 Vector Quantities and Scalar Quantities

스칼라양(scalar quantity): 온도, 질량, 부피, 속력, 시간 등 방향성이 존재하지 않는 한 개의 숫자로 표현할 수 있는 물리량

- 스칼라양은 양 또는 음의 부호를 가질 수 있다.

- 스칼라양의 계산은 일반적인 산술 규칙을 따른다. (The rules of ordinary arithmetic are used to manipulate.)

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벡터양(vector quantity): 변위, 속도, 힘 등 방향성이 존재하는 두 개의 숫자로 표현할 수 있는 물리량

Fig 3. 벡터양은 화살표로 표현된다.

 

물리학에서 벡터 또는 벡터양은 화살표로 표현된다.

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① 방향: 벡터 화살의 방향

② 크기: 벡터 화살의 길이

Fig 4. 변위벡터는 입자가 여러 경로로 길을 가더라도 출발지점(A)과 도착지점(B)을 직선으로 이은 최단거리이다.

 

변위벡터(displacement vector): [Fig 4]처럼 단순히 입자의 시작점과 끝점을 이은 직선경로

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※ 벡터의 표현

벡터의 크기는 항상 양수(always a positive number)이다.

 

벡터의 성질 Properties of Vectors

벡터의 동등성 Equality of Two Vectors

두 벡터 A, B의 동등성은 두 벡터의 크기 A, B가 서로 같고, 평행선을 따라 같은 방향을 가리킬 때[Fig 5]를 의미한다.

- 평행(parallel)

- 반평행(anti-parallel)

- 동등(equal)

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equal한 벡터는 좌표계에서 평행이동이 가능하다.

Fig 5. Parallel, Anti-parallel, and Equal

 

벡터의 덧셈 Adding Vectors

Fig 6. 벡터의 연산 도식

 

합 벡터(resultant)

- 벡터 A의 꼬리에서 벡터 B의 머리까지 연결한 벡터

Fig 7. Resultant

 

- 머리-꼬리법(head to tail method): 처음으로 더하려는 벡터의 꼬리에서 마지막 벡터의 머리 부분까지 연결한 벡터가 기하학적 resultant이다.

- 두 벡터를 더할 때 순서는 무관하다. (The sum is independent of the order.)

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※ 벡터의 덧셈법칙

① 벡터 덧셈은 교환법칙이 성립한다.

② 벡터 덧셈은 결합법칙이 성립한다.

벡터를 더할 땐 반드시 같은 물리량을 가져야 한다.

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음의 벡터 Negative of a Vector

음의 벡터: 벡터 A에 어떤 벡터를 더하여 그 합이 0이 되게 하는 벡터

- 벡터 A의 음의 벡터는 (-)벡터 A가 된다.

- 음의 벡터 A는 벡터 A와 크기는 같지만 서로 반대방향을 갖는다.

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벡터의 뺄셈 Subtracting Vectors

- 벡터 A 빼기 벡터 B는 벡터 A에 음의 벡터 B를 더한 값과 같다.

Fig 8. 벡터 빼기의 기하학적 방법

[1] 음의 벡터 B는 벡터 B와 크기는 같으나 정반대 방향을 갖는다.

[2] 벡터 빼기는 ‘음의 벡터를 더하는 것’과 같다.

[3] 벡터 빼기는 (1)음의 벡터 B를 벡터 A의 머리에 우선 이는 다음, (2)벡터 A의 꼬리에서 음의 벡터 B의 머리까지 연결한 벡터를 찾으면 된다.

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스칼라양 곱하기 Multiplying a Vector by a Scalar

벡터 A에 스칼라양 m을 곱하면 그 곱은 벡터 A와 방향은 같으면서 크기가 mA인 ‘벡터’가 된다.

벡터 A에 음의 스칼라양 –m을 곱하면 벡터 A와 방향이 반대인, 크기 |-m|A인 벡터가 나온다. 벡터의 크기는 항상(always) 양수이기 때문에 음의 스칼라양에 절댓값을 취한 것에 유의한다!

벡터의 성분과 단위 벡터 Components of a Vector and Unit Vectors

성분 벡터(component vectors, components): 어떤 벡터의 각 좌표축에 대한 사영(projection)

Fig 9. Projections(x, y) of a Vector

- 각 좌표축에 대한 성분벡터는 또한 직각성분(rectangular components)이라고도 불린다.

- [Fig 9]의 벡터는 +x-과 θ의 각을 이루고 있는데, 각 좌표축에 대해 두 개의 projection을 가지고 있다.

두 component vector는 [Fig 9]의 벡터와 다음 관계식을 만족한다.

Fig 10. 원벡터와 성분벡터와의 기하학적 관계

[Fig 10]에서 원(原)vector와 이것의 component vector는 직각삼각형을 이룬다.

- 성분벡터의 크기는 성분(component)이다.

- component는 스칼라양이다.

① 성분벡터의 방향이 +x-을 가리키면 component는 양수이다.

② 성분벡터의 방향이 –x-을 가리키면 component는 음수이다.

③ 성분벡터의 방향이 +y-(평면상의 y축의 위쪽방향)을 가리키면 component는 양수이다.

④ 성분벡터의 방향이 –y-(평면상의 y축의 아래쪽방향)을 가리키면 component는 음수이다.

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[Fig 10]은 직각삼각형을 이루며, 원벡터와 성분을 다음과 같이 정리할 수 있다.

성분의 부호는 각도 θ에 따라 결정된다.

Fig 11. 벡터의 성분 부호는 벡터가 놓인 사분면(quadrant)에 달렸다.

 

예를 들어 경사면을 따라 미끄러지는 물체는 x축을 경사면으로 y축을 경사면에 수직하게 정하는 것이 좋다.

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단위 벡터 Unit Vector

Fig 12. 단위벡터로 표현한 벡터 A

 

단위벡터(unit vector): 차원이 없고 크기는 1인, 방향을 표시하기 위한 벡터

- hat i, j, k는 각각 양(+)의 x, y, z-을 나타낸다[Fig 13].

- 벡터의 크기

Fig 13. 단위벡터의 방향

 

단위벡터를 이용해 성분벡터와 원벡터를 다음과 같이 표현할 수 있다.

Fig 14. 3차원 위치벡터

※ 2차원 벡터 덧셈