【2022 물리학 | 고전역학】 일차원 상에서의 운동 2 | 등가속도 운동 공식 유도

가속도

입자의 속도가 시간에 따라 변할 때, 입자는 가속(accelerated)되고 있다고 표현한다. ⇒ 속도변화의 양상은 크게 ‘속도 크기의 변화’와 ‘속도 방향의 변화’로 구분된다.

① 속력 가속: 직선상에서 속력이 변하는 물체의 운동으로 방향은 고정되어 있다. e.g. 직선 등가속도 운동

② 방향 가속: 궤도상에서 방향이 변하는 물체의 운동으로 속력은 고정되어 있다. e.g. 등속 원운동

③ 속력-방향 가속: 속력과 방향이 모두 변하는 물체의 가속 운동이다. e.g. 지구 자기장에 진입한 태양풍 입자((+)전기를 가진 입자)의 나선운동[그림 5]

그림 5 밴 앨런대(Van Allen radiation belt)에서 로런츠 힘에 의해 나선운동을 하는 태양풍 입자

 

그림 6 밴 앨런대(Van Allen radiation belt)의 위치

밴 앨런대는 지구의 불균일한 자기장에 의해 태양이나 우주 공간에서 날아온 전하들이 갇힌 공간이다. 밴 엘런대의 자기장은 자기병의 형태로 되어 있어, 전하가 극과 극 사이를 나선형으로 그리며 진동 운동을 하는데, 이때 극지방에서 전하들이 대기 중의 산소분자나 질소분자와 충돌하면서 가시광선을 내뿜게 된다. 이것이 우리가 잘 아는 오로라의 원리이다.

그림 7 오로라의 원리 [출처: NASA]

 

- 정의: 속도의 변화를 변화가 일어나는 동안의 시간간격으로 나눈 값이다.

- 단위: [m/s^2]

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- 정의: 시간간격이 0으로 접근할 때 평균가속도의 극한 값

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일반적으로 가속도는 순간가속도를 의미한다.

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속도-시간 그래프(v-t graph)

입자의 (순간)가속도는 속도-시간 그래프 상의 한 점의 (접선)기울기와 같다.

- 시간에 대한 속도의 도함수는 속도의 시간변화율과 같다.

① 평균가속도: 시간 t_1에서의 속도 v_1과 시간 t_2에서의 속도 v_2의 점을 이은 직선의 기울기

② 순간가속도: 두 점을 한없이 가까이 접근시켰을 때, 접근한 한 점에서의 접선의 기울기

그림 8 v-t 그래프

직선상에 움직이는 물체의 운동

속도와 가속도는 둘 다 벡터양으로 두 벡터양의 방향(일치성)에 따라 속도의 스칼라양인 속력의 크기가 결정된다.

1. 물체의 속도와 가속도가 같은 방향이면 물체의 속력은 증가한다.

2. 물체의 속도와 가속도가 서로 반대방향이면 물체의 속력은 감소한다.

일정한 가속도에서의 운동 Motion at Constant Acceleration

입자의 가속도가 일정한 경우(등가속도 운동을 하는 입자), 입자의 속도는 입자가 운동하는 전 구간에 걸쳐 같은 비율로 변한다. ⇒ 입자의 가속도가 일정하면 시간간격을 임의로 설정해도 평균가속도는 항상 순간가속도와 일치한다.

등가속도 운동하는 물체의 속도-시간 그래프 기울기는 항상 일정하다.

- 양의 기울기는 양의 가속도를, 음의 기울기는 음의 가속도를 나타낸다.

- 가속도가 일정하다면, 시간에 대한 가속도의 그래프는 기울기가 0인 직선으로 나타난다.

그림 9 v-t 그래프와 a-t 그래프에서의 속도와 가속도 표현

운동그래프

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등가속도 운동의 표현

[1] 등가속도 운동에서 속도는 시간에 따라 선형(linearly)으로 변하기 때문에 평균속도는 처음속도와 나중 속도의 산술평균(arithmetic mean; 주어진 수의 합을 그 수의 개수로 나눈 값)으로 표현할 수 있다.

등가속도 운동을 하는 입자의 최종 위치 – 두 번째 표현

- 의미: 입자의 처음속도와 등가속도 크기를 알 때, 시간 t에서 입자의 나중위치를 구할 수 있는 식으로 등가속도 운동을 하는 입자의 최종 위치를 종합한 공식이다.

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PROOF. 토리첼리 공식(Torricelli’s equation)

Evangelista Torricelli, 1608~1647

이탈리아의 수학자이자 물리학자인 토리첼리(Evangelista Torricelli, 1608~1647)가 직접 유도한 공식으로, 시간의 정보 없이 등가속도로 운동하는 물체의 최종 속력을 구하기 위해 고안했다.

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여러 가지 공식들 중에서 등가속도 운동을 하는 입자의 최종 속도, 등가속도 운동을 하는 입자의 최종 위치 – 두 번째 표현, 토리첼리 공식을 합쳐 운동학 식이라 한다.

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운동학 식(kinematic equations)