【2022 물리학 | 고전역학】 n-차원 상에서의 운동 2 | 포물선 운동, 포물체 운동

포물선 운동(포물체 운동) Parabolic Motion(Projectile Motion)

포물체(projectile): 포물선의 궤적(trajectory)을 그리는 물체

- 1638, 갈릴레오의 저서 『Two New Sciences』에서 수평운동과 수직운동이 독립되었다는 것을 설명하면서 수학적으로 최초로 언급

- 포물선 운동은 (1)수평으로는 등속운동이 (2)수직으로는 등가속도 운동이 합쳐진 형태이다.

그림 5 포물선 운동

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포물체 운동 가정

① 자유낙하 가속도(중력가속도)는 높이와 관계없이 항상 일정하고 방향은 아래를 향한다.

② 공기저항을 무시한다. cf. 물체가 빠른 속력을 가진다면 공기의 유체저항을 고려해야 한다.

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포물체 운동 분석

① 포물체를 지배하는 힘은 중력뿐이다.

② 포물체 운동의 예측 위치는 초기조건에 기인한다.

⑴ 수평방향의 등속운동: x축의 가속도는 0이다.

⑵ 연직방향의 자유낙하운동: y축의 가속도는 –g이다.

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포물체 운동을 하는 물체의 최대수평도달거리와 최대 연직 높이

그림 6 포물선을 그리는 물체 운동의 특징 [출처: 대학물리학(Raymond A. Serway 외)]

초기시간 t_i=0일 때, 포물체를 +v_y, I 성분 방향으로 쏘아 올리는 상황을 떠올려 보자.

- 포물체는 최고점([그림 6]의 Ⓒ)을 지나 포물체를 처음 쏘아올린 수평면 높이([그림 6]의 Ⓔ)로 되돌아온다.

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포물체운동의 분석에서 특별히 관심을 두는 위치는 다음과 같다.

① 최고점: 포물체가 가지는 최대 연직방향위치 ⇒ 위치 좌표: (R/2, h)

② 최종점: 포물체가 가지는 최대 수평방향위치 ⇒ 위치 좌표: (R, 0)

- 여기서 R이란, 포물체가 수평으로 최대로 도달한 거리를 의미한다.

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포물체 운동에서의 물리량과 그 특징

① 수평도달거리: 포물체가 수평방향으로 나가간 최대거리로 그 크기를 R로 표현한다.

② 최대높이: 포물체가 연직방향으로 올라간 최대높이로 최고점에서는 v_y=0을 만족한다. 따라서 아래와 같은 식을 세울 수 있다.

​③ 최대높이 도달시(time at which the projectile reaches peaks): 포물체가 최대높이에 도달하는 데 걸린 시간으로 최대높이의 수식 조건으로부터 쉽게 유도할 수 있다.

PROOF. 최대 높이

최대높이 도달시를 대입해 최대높이를 계산할 수 있다.

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PROOF. 수평도달거리

[1] 포물체가 수평도달거리(t_R)에 도달하기 위해선 최대높이 도달시의 2배(2×t_peak)가 되는 시간이 필요하다.

[2] 포물체의 수평도달거리는 x-성분을 이용한다. 또한 x-에서 가속도는 0이므로 등속 운동을 하는 입자의 최종 위치 식을 써주면 된다. 단, 초기 이동거리 x_i는 0[m]으로 가정한다.

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- sin값은 90도일 때 1이라는 최댓값을 가지기 때문에, 포물체가 45도로 발사되었을 때 최대수평도달거리에 도달한다[그림 7].

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그림 7 초기 조건에 의한 포물체 운동의 결과