[물리학-고전역학 2] 파스칼 법칙 | Pascal's Law

 

파스칼 법칙

Pascal's Law

 

Blaise Pascal, 1623~1662

 

 

 

프랑스의 수학자 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)이 발견한 유체정역학의 한 가지 법칙이다.

• 파스칼 법칙: 유체에 의한 압력은 깊이와 유체 표면 압력 p_0의 값에 비례하므로, 유체 표면에 압력을 증가시키면, 압력은 유체 내부의 각 점에 똑같이 전달된다. ⇒ 유체에 작용하는 압력의 변화는 유체 내의 각 점과 용기의 벽에 동등하게 전달된다.

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밀폐된 유체에 작용하는 압력은 용기의 벽과 유체의 모든 부분에 같게 전달된다.

그림 1. 파스칼의 원리 [출처: University Physics Volume 1, OpenStax, 2016, p.728]

 

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파스칼의 법칙[그림 1]

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유압 프레스(hydraulic press)[그림 2]는 파스칼의 법칙을 활용한 기계이다. e.g. 유압브레이크, 자동차 리프트, 지게차 등에도 응용

 

그림 2. 유압 몰딩 프레스기 [출처: Wikipedia]

 

유압기의 원리[그림 3]

유압기의 구조에서 단면적의 대소 관계가 A_out<A_in라고 하자. F_in은 단면적 A_in에 가한 힘이고 F_out는 단면적 A_out에 가한 힘을 의미한다. ⇒ F_in은 유압기의 구조 중 압축지점에 가한 힘이다. 그러므로 F_in의 힘에 의해 ‘하강’한 높이를 h_in, F_out의 힘에 의해 ‘상승’한 높이를 h_out이라고 할 수 있다.

그림 3. 유압기

 

일정한 힘을 가하기 때문에 일 W=Fy=Fh식을 따르고, 유체의 마찰이 없는 한, 일은 손실 없이 전달되므로 (Fh)_in와 (Fh)_out의 크기는 서로 같아야 한다.

 

파스칼의 법칙을 이용하면, F_in, F_out 식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

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• h_out은 유압기 시스템에서의 실제 물체 이동량으로 물체를 놓은 면적(A_out)이 작을수록 더 많이 이동한다. 즉, 유압기의 상승 및 하강 정도는 유압기의 프레스 단면적의 비를 조정함으로써 구현할 수 있다.
• 유압기의 특성: 사용자가 프레스에 (작은 힘)×(큰 길이)의 일을 수행하면 하면, 프레스는 사용자가 움직이고자 한 물체에 (큰 힘)×(작은 길이)만큼의 일을 수행한다. ⇒ 유압기에서 물체가 놓인 곳(A_out)에 큰 힘(F_out)을 주려면, 유압기의 입력값(h_in)을 크게 해야한다. 유압기에 들어간 input 값에 대해 output은 (1)힘의 이득과 (2)이동거리의 손해로 정리[그림 4]할 수 있다.
• 유압기 내부의 유체 질량은 변하지 않는다.

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그림 4. 유체의 압력은 어느 곳에나 일정하므로 input 값에 대해 결과적으로 힘의 이득과 이동거리의 손해가 발생한다.

 

압력 식을 힘 F(F=pA)에 대해 고쳐쓰고, 이 힘들에 input, output의 개념을 적용하여 일 W=Fh식을 풀어쓰면 아래와 같다.

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그리고 밀폐된 유체에 작용하는 압력(p)은 용기의 벽과 유체의 모든 부분에 같게 전달되기 때문에, p_in=p_out으로 간주하여 위의 식에서 소거하면,

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일 식은 결국 유압기의 input 부분과 output 부분의 부피변화율(ΔV)이 일정해야 함을 보여준다.

• 파스칼 법칙의 유압기 input, output 부분의 부피변화율은 항상 일정해야 한다. ⇒ 일반적인 유압기의 A는 고정값이므로, ΔV=(일정)에 기인한 h값의 변동을 예측할 수 있다.