【미분적분학 1】 Chapter 2. 함수의 변화율

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앞선 챕터에서 우리는 미분적분학에서 핵심적으로 다루는 (1)함수와 (2)접선의 의미를 아래와 같이 공부하였다.

• 함수: 집합 X의 각 원소 x를 집합 Y에 있는 오직 한 원소 f(x)에 대응시키는 일련의 규칙, 원소 x는 독립변수, 함수값 또는 상 f(x)는 종속변수이다.
• 접선: 어떠한 그래프 상에 '한 지점에 접하는 직선', 할선의 기울기의 극한으로 값을 구한다.

 

미분에 대한 접근

Approach to Differentiation

 

그림 1. 함수 y(t)의 시간(t)에 따른 변화율 그래프

 

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[그림 1]을 통해 주어진 함수는 다음과 같이 변화함을 알 수 있다.

• 0~5초: 변화율 없음
• 5~7초: 우상향 변화, y의 변화율은 양의 값을 가짐
• 7~8초: 우상향 변화, 5~7초보다 더욱 급변함
• 8~9초: 우하향 변화, y의 변화율은 음의 값을 가짐
• 9~12초: 우하향 변화, 8~9초보다 완만하게 변화함

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미분적분학에서 미분학(differential calculus)은 함수의 변화율을 명확히 기술하는 것이 그 목표이다.

• 함수의 변화율에 대한 정확한 표현 또는 식을 구하는 과정을 미분(differentiation)이라고 한다.

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참고로 미분이라 번역되는 단어는 실제 영문에서 아래와 같이 번역된다.

 

함수의 변화율

Rate of Change of a Function

 

그림 2. 구간 상 평균 변화율

 

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[그림 2]의 A와 B는 각각 t=t_1일 때 함수 y(t_1)의 값, t=t_2일 때 함수 y(t_2)의 값을 나타낸다.

• 구간 t_1에서 t_2 사이의 y의 변화량은 다음과 같다.

 

 

• 함수의 변화량은 구간 사이의 변화량 분의 y의 변화량이다.

 

 

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여기서 델타 Δ는 나중 값 - 처음(기준) 값을 나타낸다.

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[그림 2]에서 A와 B를 연결한 직선을 현(chord)이라 하고 그래프 상에서는 이 chord의 기울어짐을 평균 변화율이라 한다.

• 함수의 변화량 식을 응용하면 chord의 기울어짐은 아래와 같이 정의할 수 있다.

 

 

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그래프 상의 chord의 기울어짐은 일반적인 함수의 기울기(그래디언트, slope)와 같다.

• 두 점 사이의 함수의 평균 변화율은 현의 기울어짐이자 함수의 기울기와 같다.

 

그림 3. 각기 다른 기울기

 

 

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[그림 3]은 t축을 따라 기울기를 (1)양의 기울기, (2)0의 기울기, (3)음의 기울기로 각각 분류한 것이다.

 

임의의 점에서의 함수 변화율

Rate Change of a Function at a Specific Point

 

그림 4. 특정한 A에서의 기울기를 알기 위해서는 B를 점차 A와 가깝게 이동시켜야 한다.

 

특정한 지점에서의 함수 변화율을 알고 싶다면 (1)구간 Δt를 줄임으로써 (2)결과적으로 B를 A와 가깝게 배치해 (3)A와 최대한 근접한 구간의 기울기를 구함으로써 함수 변화율의 근사값을 구할 수 있다.

• [그림 4]의 chord AB는 B1에서 B2로 옮겨짐에 따라 점 A에서의 접선과 근사한다.
• 곡선 상의 점 A에서의 함수 변화율은, chord를 점 A에 근사함에 따라 결국 접선의 기울기와 같아진다.
• 접선(tangent): 곡선과 직선이 서로 한 점에서 만날 때, 이때의 직선을 '곡선에 대한 접선'이라고 한다.

 

어떤 곡선 상의 점 A에서 함수의 변화율이란, 접선의 기울기이다.

 

그림 5. 할선을 접선으로 만들기 위해 할선의 한 지점(Q)을 움직인다. Δx를 0으로 접근(approaches)시킨다고 표현한다.

 

 

많은 과학분야에서 실제 유효한 함수는 하나의 입력에 대해 오직 하나의 출력만을 발생시키는 것이다. 그리고 이러한 원소(x)-함수값(f(x)) 관계는 평면 상에 2차원의 그래프로 나타나는데, 그 중 특정한 지점(접점)에서 기울기가 바로 함수의 변화율이다.