【미분적분학 1】 Chapter 1. 함수와 접선

​

미분적분학(calculus): 미적분학, 함수로 표현할 수 있는 어떠한 물리량의 '변화'를 분석하는 데 사용되는 수학기법

• 함수(function): 어떠한 집합 X, Y에 대한 함수 f란, 아래를 만족하는 대응관계로 정의한다. [그림 1]

1. 임의의 원소(element) x에 대해 그에 대응하는 원소 y가 유일하게 존재한다. 이때 원소 x는 집합 X에 속하고, 원소 y는 집합 Y에 속한다.
2. 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이다.
3. 원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of a function) 또는 상(image)이라 한다. 함수값은 f(x)로 표기한다.
4. 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합으로 f(X)로 표기한다.

 

그림 1

 

 

즉, 함수 f란, 집합 X의 각 원소 x를 집합 Y에 있는 오직 한 원소 f(x)에 대응시키는 규칙을 뜻한다.

​

특히 실세계를 반영하는 물리학의 세계에서 어떤 양의 변화는 또 다른 양의 변화와 연관이 있다. 이탈리아의 물리학자이자 천문학자였던 갈릴레오(Galileo Galilei, 1564-1642)는 물체가 떨어지는 거리가 시간의 제곱에 비례한다[표 1]는 사실을 발견했다.

표 1. 갈릴레오의 실험 데이터

 

 

• 시간에 따른 변화(change over time) 등 물리학적 변화에 있어, 원소 x는 독립변수(independent variable)이다.
• 그리고 함수값 또는 상 f(x)는 종속변수(dependent variable)이다. [그림 2]

 

그림 2. 함수 f에 의한 독립변수 x와 종속변수 f(x)

 

x, y축이이 놓인 그래프에서 정의역과 치역, 그리고 원소(종속변수)와 함수값(독립변수)은 [그림 3]과 같이 나타난다.

 

그림 3

 

y축의 수는 x축의 원소에 의한 함수값 또는 상과 동일[그림 4]하다.

 

그림 4

 

할선과 접선

Secant Line and Tangent Line

 

할선(secant line): 곡선을 한 번 이상 만나는 직선, 두 점을 잡고 지나는 선

• 할선의 기울기를 구하는 식을 통해 접선의 기울기를 추론할 수 있다.

 

그림 5

 

[그림 5]와 같이 secant line은 곡선에 '두 점'을 지나는 반면, 접선(tangent line)은 '한 점'만 접하는 데, 이는 접선이 곡선과 접하는 직선으로 접점에서 곡선과 같은 방향을 갖기 때문이다. 여기서 곡선은 y=x^2이다.

​

접선(tangent line): 곡선과 접하는 직선으로 접점에서 곡선과 같은 방향을 갖는다.

​

할선의 기울기

 

 

■

그림 6

 

 

할선은 두 개의 서로 가까운 점을 설정([그림 6]의 두 점)하여 '기울기' 값으로 구할 수 있다.

​

접선 만들기

할선의 기울기는 두 개의 점을 설정한 뒤, 기울기를 구하는 공식으로 구할 수 있다. 그러나 접선은 '접점(서로 접하는 한 점으로 표현되는 구역)'에서 곡선과 같은 방향으로 난 직선으로, 일반적인 기울기 식으로는 그 값을 구할 수 없다. 단, 할선의 두 점을 P, Q라 했을 때, P점을 고정시킨 뒤, Q점을 P점에 가깝게 나타낼수록 기울기는 어떠한 특정한 값을 향한다.

• 특정한 값으로 향할 때의 그 경향성을 접선의 기울기[그림 7]라 하고, 이는 할선의 기울기 극한으로 정의한다.

​

그림 7

 

접선의 기울기 식은 극한을 배웠다 가정하면, 아래와 같이 쓴다.

 

 

• 할선의 두 점 P, Q 중, Q점을 P점에 가깝게 나타낸 것[그림 8]을 Q→P라 표현한다.
• m_PQ는 할선의 기울기로 Q점이 P점을 향해 다가가나 두 점 자체가 여전히 독립적으로 존재함을 나타낸다.

​

예를 들어, P를 (1, 1)로 Q를 (1.5, 2.25)로 두었을 때 m_PQ는 아래와 같이 계산된다.

 

 

그리고 Q를 P점에 가까이 하기 위해 Q를 (1.01, 1.0201), (1.001, 1.002001) 등으로 줄였을 때, m_PQ는 다음과 같이 계산된다.

 

 

m_PQ는 2라는 수의 경향성을 따르고 있고, 이것이 접선의 기울기이다.

​

그림 8