【물리학 - 고전역학】 06. 차원과 스칼라

 

이전 챕터 【04. 위치, 속력, 속도】에서 이동거리와 속력은 '스칼라', 변위와 속도는 '벡터'의 특성을 갖는다고 했다.

https://blog.naver.com/moduphysics/223880532848

【물리학 - 고전역학】 04. 위치, 속력, 속도

 

 

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물리학은 물리량 간의 관계를 수식으로 정리하여 자연현상을 설명하며, 고전역학의 초반에는 물리량을 크게 (1)스칼라량, (2)벡터량으로 구분한다.

• 스칼라량과 벡터량은 본질적으로 연산법의 차이로부터 기인하며, 그 연산의 대상으로 (1)크기와 (2)방향이 고려된다.
• 스칼라량은 연산의 대상으로 크기'만' 고려된다. 반면, 벡터량은 연산의 대상으로 크기 뿐만 아니라 방향까지 함께 고려되어야 한다.

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차원

Dimension

 

수학에서 어떠한 대상의 모든 원소는 n개의 정해진 원소들의 조합에 의해 모두 나타낼 수 있으며, 그 정해진 원소를 기저, 기저원소의 개수를 차원이라 한다. 예를 들어 평면에 놓여진 한 점의 위치를 지정 및 표현하는 데는 반드시 두 개의 숫자가 필요하다.

 

그림 1. 각 차원에서의 점(dot)의 전개: 점, 선분, 사각형, 정육면체, 초입방체

 

 

 

물리학의 공간차원

고전 물리학에서 우주는 3개의 차원을 갖는 것으로 묘사한다. 공간의 각 점에서 움직일 수 있는 기본 방향은 (1)x축 왼쪽-오른쪽, (2)y축 위-아래, (3)z축 앞-뒤이며, 그 이외의 다른 방향으로 움직인다 하더라도 세 가지 방향의 조합으로 표현할 수 있다. 또한 오른쪽을 양의 방향이라고 할 때, 물체의 오른쪽 움직임은 양수로, 왼쪽 움직임은 음수로 표현한다.

• 기본방향: x, y, z-
• 기본방향 중 양의 방향성: x축의 오른쪽, y축의 위쪽, z축의 앞쪽

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특정 차원의 계

고전 물리학에서 우주의 차원은 크게 3차원까지 확장할 수 있으며 이를 표현하기 위해서 이전 챕터 【5. 좌표계】에서 배운 좌표, 좌표계를 활용한다. 좌표계는 반드시 아래 4가지 요건을 충족해야 한다.

1. 원점(origin, arbitrary point O): 물체의 좌표가 0으로 대표되는 위치
2. 좌표축: 운동의 차원을 기술하기 위한 방향 축(axis), 주로 'n'차원으로 차원축이 숫자로 표기된다.
3. 좌표축의 (+)방향(positive direction)
4. 좌표축 눈금의 간격(interval)

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<1차원 계>

좌표계의 가장 간단한 예시로 1차원 계는 실수(real numbers)로 구성된 수선(number line)[그림 2]이다.

 

그림 2. 실수로 구성된 수선

 

​​원점은 O(0)이고, 특정한 좌표 P는 O와 P 사이의 거리로 정의된다. 예를 들어 P에 고유한 좌표값(a unique coordinate) 5가 주어진다면, P는 '원점으로부터 5만큼 떨어진 거리'로 정의할 수 있다.

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1차원 계를 이용해 1차원 상에서의 물체의 운동을 기술할 수 있다.

• 1차원 상에서 움직이는 물체의 위치는 한 개의 좌표로만 정해진다. e.g. 내가 있는 위치(원점)로부터 오른쪽으로 3m 이동한 물체
• 원점은 1차원 물체가 운동하는 선상에서 1회성으로 마음대로 정의가 가능하다.
• 좌표축은 물체의 움직임 그 자체로 해석된다.
• 1차원 좌표축에서 (+)방향은 '대개' 오른쪽으로 정의한다. ⇒ 물론, 임의로 왼쪽을 (+)방향으로 설정할 수도 있다. 그러나, 한 번 설정한 (+)방향은 이후 문제 풀이 시 다시 바꿀 수 없다.

e.g. +20cm = 20cm만큼 오른쪽으로 움직인 물체

• 좌표축의 눈금 간격을 정한다.

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​<2차원 계>

이전 챕터 【5. 좌표계】에서 직각좌표계[그림 3]에서 배운 내용과 동일하다.

https://blog.naver.com/moduphysics/223882380349

【물리학 - 고전역학】 05. 좌표계

 

 

그림 3. 2차원 계

 

 

 

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• 2차원 계에서 물체는 '면(plane)'상에서 운동한다.
• 2차원 계의 좌표축은 서로 직각(two perpendicular lines)이 되게 한다.

1. 좌표축의 가로축은 x축(x-, x axis)이라 한다.
2. 좌표축의 세로축은 y축(y-, y axis)이라 한다.

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• 2차원 계의 (+)방향은 다음과 같다.

1. x-의 (+)방향은 오른쪽(우, 右)이다.
2. y-의 (+)방향은 위쪽(상, 上)이다.

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원점과 좌표축의 눈금 간격은 마찬가지로 사용자가 임의로 정할 수 있다.

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​<3차원 계>

 

그림 3. 3차원 계

 

물체가 선이나 면에 한정되지 않고 공간의 어느 곳이든 자유롭게 움직일 수 있는 경우, 세 개의 좌표가 주어져야 그 운동을 표현할 수 있다. 이 때 세 개의 좌표를 표기하기 위해 3차원 계[그림 3]를 사용한다.

• 임의의 원점을 먼저 설정하고 3개의 서로 직교하는 선을 각각의 좌표축으로 정의한다.
• 3차원 계의 (+)방향은 오른손 좌표계[그림 4]를 이용한다.

 

그림 4. 오른손 좌표계 기준

 

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x축과 y축의 (+)방향을 먼저 정한 뒤 z축의 방향을 정하기 위해 '오른손 좌표계'를 사용한다.

1. 엄지 손가락을 제외한 나머지 손가락들을 x축 방향에서부터 y축 방향으로 감싼다.
2. 이 때, 오른손 엄지가 가리키는 방향이 z축의 (+)방향이다. ⇒ 오른손 엄지가 가리키는 반대 방향이 z축의 (-)방향이다.

• [그림 5]와 같이 엄지를 제외한 나머지 손가락들이 x축 방향에서 y축 방향을 가기 위해서는 반시계 방향으로 손가락을 감싸야 하며, 이때 엄지는 자연스럽게 위로 향한다.

 

그림 5. 오른손 법

 

 

​마찬가지로, 좌표축의 눈금 간격은 사용자가 임의로 정할 수 있다.

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스칼라량

Scalar Quantity

 

좌표계의 차원수 n과 무관하게 하나의 수로만 표시되는 양이다. 방향을 고려해야하는 벡터량과 다르게 물리량의 계산에 방위(direction)가 무관한 것이 특징이며, 절댓값으로 표현된다.

• 스칼라 물리량: 온도, 속력, 이동거리, 시간, 질량, 전하, 퍼텐셜 등
• 스칼라량은 1개의 숫자와 함께 단위가 주어진다.

e.g. 45도씨(℃)

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n차원에서 스칼라의 요소 개수

 

 

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스칼라량에서 유의미한 1개의 숫자는 n차원에서 스칼라의 요소 개수 공식으로부터 유도 되었다.

• 1차원, 2차원, 3차원의 공간에서 상관없이 스칼라량의 요소는 항상 1[개]이다.