【물리학 - 고전역학】 07. 벡터 <PART 1>

 

 

벡터량

Vector Quantity

 

좌표계의 차원수 n과 무관하게 스칼라량은 하나의 수로만 표시되었으나, 벡터량은 n차원의 공간에서 n^1개의 요소를 고려해야 하는 물리량이다. 즉, 벡터량은 차원수 n에 의존한다.

​

n차원에서 벡터의 요소 개수

■

​

예를 들어 우리가 사는 공간은 3차원인데, 3차원 공간에 존재하는 벡터는 3가지 요소 개수를 가지며, 이것은 곧 세 개의 수로 그 공간의 한 벡터를 표현할 수 있다는 의미이다.

• 직각좌표계에서 공간 상의 한 점의 위치는 세 개의 좌표값[그림 1]으로 표현된다.

 

그림 1. 3차원 공간에서 위치 벡터

 

 

​

위의 논리에 따라, 평면인 2차원 공간에 놓인 벡터는 2가지 요소 개수를 가지며, 곧 두 개의 수로 그 공간의 한 벡터를 표현할 수 있다.

​

 

n차원의 벡터

n-dimensional vectors

 

 

2차원 벡터

2차원의 벡터란, 평면에 존재하는 벡터량으로 xy평면(xy-plane, xy-)에 아래[그림 2]와 같이 표현된다.

 

그림 2. 2차원 벡터

 

 

• 벡터량은 흔히 화살표로 나타나는데, 물리학에서 벡터량은 (1)화살표의 방향과 (2)화살표의 길이를 모두 고려한다. ⇒ 2차원의 벡터는 2^1=2[개]의 요소 개수를 갖는다.

1. 화살표의 방향은 벡터량 요소 중 벡터의 방향와 일치한다.
2. 화살표의 크기는 벡터량 요소 중 벡터의 크기와 일치한다.

​

벡터 화살표가 시작되는 지점을 좌표계의 원점 O로 잡으면, 벡터의 두 요소는 [그림 3]과 같이 (1)화살표의 길이와 (2)+x-에서의 벡터 사잇각 θ이라 할 수 있다.

​

 

그림 3. 2차원 벡터의 두 요소: 크기, 방향

 

 

<2차원 좌표계 반영>

우리는 앞선 챕터 【05. 좌표계】에서 2차원 좌표계는 크게 2가지 종류가 있다고 배웠다.

https://blog.naver.com/moduphysics/223882380349

【물리학 - 고전역학】 05. 좌표계

 

1. 데카르트 좌표계
2. 극좌표계

​

 

그림 4. 좌표계에 따른 2차원 벡터의 두 요소

 

 

2차원 좌표계에 놓인 벡터의 요소는 좌표계의 종류와 상관없이 두 가지 요소가 유의미[그림 4]한데,

1. 먼저 데카르트 좌표계는 x-, y- 좌표를 알기 때문에 P(x, y)로 벡터를 표현할 수 있다.
2. 한편 극좌표계는 원점으로부터 벡터의 직선 길이 r과 x-으로부터 떨어진 각도 θ를 좌표로 삼기 때문에, P(r, θ)로 벡터를 표현할 수 있다.

​

그리고 우리는 직각좌표를 극좌표로, 또한 극좌표를 직각좌표로 변환하는 것 또한 이미 배웠다.

​

3차원 벡터

3차원의 벡터란, 부피에 존재하는 벡터량으로 xyz공간(xyz-volume, xyz-)에 아래[그림 5]와 같이 표현된다.

 

그림 5. 3차원 벡터

 

 

3차원의 벡터는 세 가지의 요소 개수를 가지며, 이들은 각각 (1)벡터의 크기 r, (2)극각 θ, (3)방위각 φ이다.

• 크기: r, 원점으로부터 P[그림 6]까지의 거리
• 극각: θ, z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각, 즉, 양의 z축과 이루는 각
• 방위각: φ, xy평면에 투영한 선이 +x-과 이루는 각

​

그림 6. 구면좌표계

 

 

물리학에서 쓰이는 3차원의 좌표계는 세 가지가 있는데, 이들은 전자기학 파트에서 본격적으로 학습하도록 한다.

​

 

물리학에서의 스칼라량과 벡터량

 

물리학에서 등장하는 물리량은 스칼라량과 벡터량으로 나뉘며, 수적인 측면 이외에도 다음과 같은 특성을 공유한다.

​

<스칼라량>

1. 스칼라량은 좌표변환(coordinate transformation)에 의존하지 않는다. (Thornton, Classical Dynamics 5th edition)
2. 스칼라량끼리는 대수학적 산술 규칙(대수학적 계산)을 따른다.
3. 어떤 스칼라량은 음수부호를 갖는다. e.g. 음전하 -q

​

​<벡터량>

1. 2차원 이상의 좌표계에서 벡터량은 특정한 '방향'을 가지며, 이에 따라 결과 값이 '각도'에 의존한다.
2. 벡터량끼리는 벡터연산을 따른다.
3. 벡터의 수학적 연산은 (1)좌표계의 설정 이후 (2)벡터의 수끼리 연산하는 방식이다.

​

특히 벡터 연산은 여러 물리량의 연산에 직접적으로 활용되기 때문에 별도의 챕터들로 학습한다.