[미분] 3장. 함수의 연속성

만약,

 

식 3.1

이면, 함수 f는 x=a에서 연속(continuous)한다.

 

함수의 연속은 '세 가지 조건'을 포함한다.

 

(1) a는 f의 정의역에 속한다.

(2) x→a의 극한이 존재한다.

(3) lim_{x→a}[f(x)]=f(a)

 

함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다. 이것의 필요충분조건은 식 3.1을 따르며, 즉 x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다.

 

 

자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다.

- 연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.

 

 

EXAMPLE 3.1 함수의 불연속성

 

 

다음 함수 f의 그래프를 보고, a, b, 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오.

 

SOLUTION.

[1] x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 불연속

[2] x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러나 lim_{x→b}[f(x)]는 정의되지 않는다. 왜냐하면 좌극한과 우극한이 서로 다르기 때문이다.

 

(1) 좌극한: 검은 점

(2) 우극한: 흰 점

 

⇒ 따라서 불연속

 

[3] x=c에서 좌극한과 우극한은 서로 같다. (흰 점) 그러나 f(c)는 검은 점으로 함수의 연속 정의의 세 번째 조건(lim_{x→a} [f(x)]=f(a))을 만족하지 못한다. ⇒ 불연속

■

 

 

The Meaning of Continuous (with Continuity)

A function f(x) is continuous at a point a only if the following three conditions are satisfied:

 

 

A function is discontinuous at a point a if it fails to be continuous at a.

 

세 가지 그래프는 모두 discontinuous functions(The function f(x) is not continuous at a)을 보여준다.

 

(1) f(a)가 정의되지 않았다.

(2) f(a)는 검은 점으로 정의되었다. 그러나 좌극한과 우극한이 달라 limf(x)가 존재하지 않는다.

(3) f(a)는 검은 점이고, limf(x)는 흰 점이다.

 

lim_{x→a}[f(x)] ≠ f(a)

 

연속하는 함수는 다음과 같다.

 

1. 다항식(polynomials)

2. 유리함수(rational function)

3. 제곱근 함수

4. 삼각함수

5. 역삼각함수

6. 지수-로그 함수

불연속

미적분학에서 대표적인 불연속한 함수는 크게 3가지이며, 그래프(모습)는 다음과 같다.

 

 

1. removable discontinuity

2. jump discontinuity

3. infinite discontinuity