[미분] 1장. 미분적분학 들어가기: 접선과 넓이

미분적분학(calculus): 함수로 표현할 수 있는 어떤 물리량의 변화를 분석하는 데 사용되는 수학의 한 기법

- 함수(function)는 그래프로 표현될 때, 특정한 지점에서 얼마나 급격히 변화되는 지를 분석하는 데 사용한다.

 

함수   어떤 집합 X, Y에 대한 함수 f는 다음을 만족하는 대응관계로 정의한다.   - 임의의 원소(element) x∈X에 대해, 그에 대응하는 원소 y∈Y가 유일하게 존재한다. - 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이라 한다. - 원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of the function), 또는 상(image)이라 하고, f(x)로 표기한다. - 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합, f(X)로 표기한다.

 

 

 

물리 세계에서 어떤 양의 변화는 많은 경우, 또 다른 양의 변화와 연관이 있다. 이탈리아의 물리학자이자 천문학자였던, 갈릴레오(Galileo Galilei, 1564~1642)는 물체가 떨어지는 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 사실을 발견했다.

 

갈릴레이의 실험 데이터

 

Galileo Galilei (1564~1642, 이탈리아)

접선

할선(secant line): 곡선을 한 번 이상 만나는 직선, 두 점을 잡고 지나는 선

접선(tangent line): 곡선과 접하는 직선, 접점에서 곡선과 같은 방향을 갖는다.

 

 

할선의 기울기를 구하는 식을 통해 접선의 기울기를 추론할 수 있다.

 

할선의 기울기

 

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할선의 기울기는 두 개의 서로 가까운 점 P, Q를 설정해 기울기 값으로 구할 수 있다.

- P(x_P, y_P)

- Q(x_Q, y_Q)

- x_1=x_P, x_2=x_Q, y_1=y_P, y_2=y_Q

 

 

할선의 기울기를 구했다면, 이제 할선의 기울기에서 설정한 Q를 점 P에 가깝게 근사시켜 보자.

 

할선을 접선으로 만들기 위해 할선의 한 지점(Q)을 움직인다. Δx를 0으로 접근(approaches)시킨다고 표현한다.

 

접선의 기울기는 결국 점 Q가 점 P에 한없이 가까워진 값으로 특정한 한 값을 갖는다.

 

 

접선의 기울기

 

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- Q→P: 점 Q를 점 P로 접근시켜라.

- m_PQ: 할선의 기울기

- m: 접선의 기울기

 

따라서 접선의 기울기란, 점 P, Q의 할선의 기울기 값에서 점 Q를 점 P로 한없이 근사시킨 값으로 정의할 수 있다.

- lim 기호는 극한의 의미로 【2장. 함수의 극한】에서 자세히 다룬다.

- 접선의 기울기는 접선의 변화율을 표현하며, 이는 함수의 변화율과 일치한다.

 

 

EXAMPLE 1.1 할선과 접선의 기울기

점 P(1, 1)에서 점 Q(2, 4)를 이은 포물선 f(x)=x^2에서의 할선의 기울기를 구하시오. 그리고 점 Q를 점 P에 근사할 수록 어떤 값을 가질 지 계산하시오.

 

Tip. 점 Q를 (1.5, 2.25)로 두었을 때 할선의 기울기도 구해본다.

 

□

 

미적분학의 1차적인 목표는 함수의 변화율을 기술하는 것이다. 즉, 미적분학은 함수의 변화율을 '정량적으로' 기록하기 위한 도구이다.

- 점 P와 Q를 연결한 직선을 현(chord)라고 한다.

- 현의 수직방향 길이는 y_2-y_1이다.

- 현의 수평방향 길이는 x_2-x_1이다.

 

 

- 기울기(slope, gradient, steepness of a curve): 두 점 사이의 함수의 평균 변화율, 선의 경사도가 중요한 수치

 

기울기는 방향과 기울기 정도(경사 정도, steepness)에 따라 다음과 같이 구분된다.

 

 

(1) 양의 기울기

(2) 음의 기울기

(3) 0의 기울기: 어떤 선의 경사도가 전혀 발견되지 않을 때, 직선은 0의 기울기를 갖는다고 표현한다.

 

넓이

직사각형이나 삼각형의 넓이는 공식을 통해 매우 쉽게 구할 수 있다. 하지만 f(x)(그래프의 축(axis) 정의에 따라 f(x)를 y로 표현하기도 함)가 x^2의 밑면적을 구하는 것은 쉬운 문제가 아니다.

 

S는 곡선의 밑면적이다.

 

접선을 정의할 때, 우리는 접선의 기울기를 할선들의 기울기에 대한 '극한'으로 근사시켰다. 마찬가지로 곡선의 넓이를 구할 때 비슷한 아이디어를 빌린다.

 

 

곡선을 갖는 밑면적 구하기   [1] 먼저 곡선함수의 그래프 영역 S를 직사각형으로 잘게 쪼갠다. [2] 이 직사각형을 더 잘게 쪼갤수록 S와 더 근사한 넓이를 구할 수 있다. [3] 직사각형의 수를 늘려 '직사각형 넓이의 극한'을 구한다.

 

직사각형의 넓이를 설정할 때, 2가지 방법을 고를 수 있다.

 

(1) 오른쪽 끝점을 기준으로 영역을 직사각형의 묶음으로 쪼갠다. (빨간색)

(2) 왼쪽 끝점을 기준으로 영역을 직사각형의 묶음으로 쪼갠다. (주황색)

 

(1)과 (2)는 각각 오른쪽 근사와 왼쪽 근사라 한다.

 

오른쪽 근사를 한 면적과 왼쪽 근사를 한 면적의 총합을 각각 R_n, L_n(여기서 n은 직사각형의 개수를 의미한다.)이라 하고, 엄밀한 넓이 값인 S와 대소 비교를 할 수 있다.

 

 

직사각형의 수를 늘릴수록 L_n와 R_n은 비슷한 값을 가지고, 또한 S와도 근사하게 된다.

 

Area Integral Approximations [출처: hyperphysics]

 

함수 f(x)가 주어질 때, 극한의 개념을 활용한 미분을 통해 df/dx(x에 대한 f(x)의 미분)를 구할 수 있다. 마찬가지로 함수의 미분이 주어질 때도 f(x)를 구할 수 있는데, 이는 적분(integration)이라는 과정을 통해 가능하다. 넓이 문제는 이 과정을 응용한 것이라 할 수 있다.