[Mechanics] 운동마찰력의 분석 | Analysis of the Frictional Force

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마찰력의 크기는 계속 변하고 또한 접합점(접촉점)이 계속 변형되기 때문에, 미시적인 수준에서 마찰력의 작용점 변위와 물체의 변위는 일치하지 않는다.

- 미시적인 수준에서 마찰력의 작용점 변위는 일정하지 않기 때문에, 엄밀하게 마찰력이 한 전체일을 계산할 수 없다.

- 그러나 가속도의 법칙은 여전히 유효하므로, 표면 위를 미끄러지는 책과 같은 변형이 작은 물체에 대한 마찰력이 한 일은 근사적으로 유도할 수 있다.

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[1] 마찰력을 제외한 힘들이 물체를 변형시키지 않는다고 하면, 물체의 변위는 이 힘들의 작용점 변위와 같다.

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먼저, 마찰력을 제외한 힘들이 한 일은 아래의 식과 같다.

- r: 작용점에서의 변위

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[2] 과정 [1]에서의 식에 운동마찰력과 변위의 스칼라곱을 적분한 항을 더한다.

[3] 과정 [2]에서의 (∑F+f)는 net force와 의미적으로 같다. 그리고 이 net force는 Newton's second law를 따른다.

[4] 벡터 a는 물체의 가속도로 미분식 dv/dt로 쓸 수 있다. 마찬가지로 dr은 vdt로 풀 수 있다.

[5] 분홍색으로 표시한 (dv/dt) dot (vdt) 식은 같은 벡터의 스칼라곱의 성질을 활용하여 풀 수 있다.

[6] 과정 [5]의 결과를 [4]의 마지막 항에 대입한다.

[7] 물체의 경로에 있는 모든 변위 요소 dr에 대해 f_k와 dr은 서로 반대방향이다. 그러므로 과정 [6]의 분홍색 식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

- integral (f_k × dr)= -(f_k) × r

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운동마찰력이 일정할 때 마찰력의 Work-Energy Theorem

- 운동마찰력의 크기가 일정하므로 f_k를 적분 기호 밖으로 빼냈고, 남은 적분 integral dr 역시 물체가 이동한 총 운동거리 d(total travelling distance)로 표현했다.

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위의 식을 이용해 운동마찰력이 일정한 물체의 최종 운동에너지는 다음과 같이 계산할 수도 있다.

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