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미분표 미분적분학 개념에서 다룬 미분식들을 표로 정리하면 다음과 같다. - C: a constant and real number - k: a constant and real number - n: real numbers - f, g, u, v: the functions with respect to the real variable x f(x), g(x), u(x), v(x) - a: base a of the exponential and logarithmic functions (단, a>0, a≠1 조건(conditions)을 갖는다.) 상수함수의 도함수 멱의 법칙(power rule) 미분에서의 멱의 법칙은 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 유도(17세기 중반)했다. 한편 적분에서의 멱의 법칙은 이보다 이른 시..

미적분학에서 f에 대한 2차 도함수(second derivative)은 'f의 도함수에 대한 도함수'를 의미한다. - f'(x)가 미분가능(differentiable)이라면, f(x)에 대한 2차 도함수를 찾을 수 있다. - 2차 도함수는 다음과 같이 표기한다. 2차 도함수는 선형관계(linear relationship)를 만족한다. 2차 도함수의 활용 물리학에서 위치(position)는 시간의 함수로 표현할 수 있다. s(t) 위치를 시간의 함수로 표현할 때, 속도(velocity)는 위치함수의 도함수로 정의한다. 속도 ■ 한편, 속도함수가 연속한다면 이것의 도함수를 구할 수도 있는데, 속도함수의 도함수를 가속도(acceleration)라고 정의한다. 가속도 ■ 마지막으로 가속도의 도함수의 개념으로 가..

x→a일 때, 식 1의 함수 α(x)를 무한소(infinitesimal)라고 부른다. x→a의 조건에서 α(x)와 β(x)를 무한히 작은 크기의 함수라고 할 때, 다음 4가지 극한의 특성을 알아보자. 1. then we can say that the function α(x) is an infinitesimal of higher order than β(x). 2. then, the function α(x) and β(x) are called the infinitesimals of the same order. 3. then, the function α(x) is called an infinitesimal of order n compared with the function β(x). 4. then, the f..

미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. 사인 함수 sinx의 극한 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다. sinx/x의 극한 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다. sinπ/x의 극한 존재하지 않는다. x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3을 얻을 수 있다. 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다. 코사인 함수 cosx의 극한 모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고, 극한법칙에 따라 lim_{a→..

극한의 부정형으로 지금까지 0/0 부정형, 그리고 ∞/∞ 부정형을 알아보았다. 이외에도 실전문제에서는 다음과 같은 부정형도 만날 수 있다. - 차 부정형: ∞-∞ 부정형 - 곱 부정형: 0×∞ 부정형 차 부정형의 풀이 차 부정형은 식 1의 형태로 무한대를 그대로 대입하면 연산 결과가 0 또는 무한대로 구해진다. 차 부정형은 식의 종류에 따라 다음 풀이법을 갖는다. 1. 식이 다항식-다항식 꼴이라면, 먼저 최고차항을 묶어주어 계산한다. 식 2는 최고차항이 x^2이므로, 이를 묶어주면 다음과 같이 계산할 수 있다. 2. 식에 무리식이 있다면, 유리화를 해준다. 식 3에 존재하는 무리식을 다음과 같이 풀어 계산할 수 있다. EXAMPLE 1. 다음 식을 구하시오. SOLUTION. ■ 곱 부정형의 풀이 무한소..

0/0 부정형 f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE 1. 다음 식을 구하시오. SOLUTION. 식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다. 분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자. 답은 2이다. ■ EXAMPLE 2. 다음 식을 구하시오. □ ∞/∞ 부정형 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 함수 f(..

자연로그 밑 e 자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다. u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다. 그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다. f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다. e의 역사 무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, 1550~1617, 스..

극한의 성질(properties of limits, limit laws)은 엡실론-델타 논법으로 증명되며, 극한의 사칙연산에 활용된다. 극한의 표기 식 1은 x→a(any real number)일 때, 함수 f(x)→L로 향함을 의미한다. 극한의 성질 1. 상수함수의 극한(constant function rule): 상수함수의 극한 값은 상수(C) 그 자체이다. 2. x→a에서 x의 극한(basic limit result) 3. 샌드위치 정리(squeeze theorem) 함수의 관계가 다음과 같다고 하자. f(x)≤g(x)≤h(x) for all x close to a x=a인 지점을 제외하고, 조건에서 다음 식을 만족한다. then, 극한의 사칙연산 극한의 사칙연산은 두 개 이상의 극한을 사칙연산할 ..

지금까지 우리는 다양한 피적분함수에 대한 기본적분표 및 적분법(적분전략)을 살펴보았다. 기본적분표 피적분함수의 가장 간단한 형태에 대한 적분 중 특히 부정적분표는 매우 중요하며, 복잡한 형태의 적분의 원활한 풀이를 위해 암기를 요구하기도 한다. 부정적분표를 기본으로 적분의 일반성질 중 아래의 5가지 성질을 특히 주목하도록 한다. 적분의 풀이 부정적분표와 적분의 5가지 일반성질을 기초로 적분은 다음과 같은 풀이과정을 갖는다. [1] 간단한 피적분함수의 유도한다. [2] 치환대상을 찾는다. 피적분함수 내에서 u=g(x)로 치환했을 때, 그것의 미분 du=g'(x)dx가 피적분함수의 인수로 곱해진 함수 g(x)를 찾는 것이 좋다. - 적분전략 중 치환적분법을 사용할 수 있다. [3] 피적분함수의 치환에 실패할..

부분분수 적분은 피적분함수가 유리함수(분자와 분모가 다항식으로 이루어진 함수)꼴인 함수를 쉽게 적분하는 전략이다. 식 19.1의 피적분함수는 유리함수이고, 이 유리함수는 인수분해를 통해 간단한 분수의 합(식 19.2)으로 나타낼 수 있다. 식 19.2를 연산하면 식 19.1의 피적분함수를 다시 구할 수 있고, 이 과정의 역(역과정)이 즉 부분분수분해(Partial Fraction Decomposition)이다. 분수의 구분 유리함수는 일반적으로 다음과 같이 표현한다. 여기서 P와 Q는 다항식으로 P의 차수(degree)가 Q의 차수보다 작을 때, f는 더 간단한 분수의 합으로 표현된다. - 진유리함수(proper rational fraction): P(x)의 차수가 Q(x)의 차수보다 작은 유리함수 a_..