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지수함수(exponential function): 거듭제곱의 지수를 변수로, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수 로그함수(logarithm, 대수함수): 지수함수의 역함수로, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑(base)을 몇 번 곱해야 하는 지 나타내는 함수 - 로그함수의 지수함수적 정의: a>0, a≠1이고, y>0일 때, x, y 사이에 y=a^x라는 관계가 있을 때, 'x는 a를 밑으로 하는 y의 로그(대수)'라 하고 로 표기한다. - a≠1인 이유는 1의 거듭제곱이 모두 1이기 때문에, 지수에 어떤 값이 오더라도 1이 되어 무의미하기 때문이다. - x 값의 범위는 모든 실수이다. ⇒ 실수를 로그를 통해 나타낼 수 있다. 지수와 로그의 기본성질 지수의 기본성질 ■ 여기서 e의 정의는 다음과 같..

삼각함수(trigonometric function): 각도와 관련된 여러가지 함수 - 삼각함수는 기본적으로 3가지 함수-sine 함수, cosine 함수, tangent 함수-가 있으며, 이들의 역수-cosecant, secant, cotangent-를 모두 합치면 총 6개이다. 삼각함수의 정의 삼각함수는 먼저 직각삼각형을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다. 삼각함수의 직각삼각형 정의의 역수는 각각 코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트의 정의와 같다. 또한 단위원(unit circle; 반지름 r이 1인 원으로 원점 (0, 0)을 중심으로 한다.)으로 삼각함수를 정의할 수도 있다. 반지름을 r이라 둘 때, 각 삼각함수의 정의는 다음과 같이 정리한다. 1. sinθ = y/r 2. cosθ = x/r 3. ..

곱법칙 함수(구함수) f와 g가 모두 미분가능일 때, 함수들을 곱하거나 나누어 얻어지는 새로운 함수의 도함수 역시 구할 수 있다. 먼저, 곱법칙(product rule)은 두 구함수를 곱하여 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법이다. 곱법칙 ■ - 두 함수의 곱의 도함수는 앞의 함수에 뒤의 함수의 도함수를 곱한 값에, 뒤의 함수에 앞의 함수의 도함수를 곱한 값 둘을 더한 것과 같다. 몫법칙 한편, 몫법칙(quotient rule)은 두 함수를 나누어 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법이다. 몫법칙 ■ 연쇄법칙 연쇄법칙은 합성함수(composition of two functions)를 미분하는 방법이다. 만약, 와 같은 함수를 미분할 경우, 지금까지 배운 미분공식으로는 이를 풀 수 없을 것이다. ..

자주 사용되는 함수-미분 공식 중 다항함수와 관련된 것들을 살펴보자. 1. 상수함수 모든 함수 중 상수함수는 가장 간단한 함수이다. 상수함수의 도함수 ■ - d/dx는 미분연산자로 뒤에 나타난 함수를 미분한다는 뜻이다. PROOF. 상수함수의 도함수 ■ 2. 거듭제곱함수 함수 f(x)=x^n의 n이 1이면, x^1=x이고, 그래프는 직선 f(x)=x로 그려진다. 이것의 기울기는 1이고, 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다. dx^1/dx=1 x가 2, 3일 때, 대입하면 2x, 3x^2인 것을 알 수 있다. 식 6.1을 양의 거듭제곱 법칙이라 하고, 증명은 다음과 같다. PROOF. 양의 거듭제곱 법칙 ■ 음의 정수를 지수로 갖는 거듭제곱의 도함수도 역시 거듭제곱의 법칙(power rule)이 성립한다. 따..

미분계수에서 a(점 P의 x값)는 고정된 값이었다. 그러나 도함수(derivative)를 정의하기 위해 a를 '이동'시킨다. 미분계수 식에서 a를 변수(variable) x로 바꾼다. 도함수(derivative) ■ x지점에서 f'의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기이다. - f'(x)는 f의 derivative(of f)라는 새로운 함수로 정의된다. - f'(x)의 정의역은 f의 정의역보다 크지 않다. EXAMPLE 5.1 도함수 함수가 f(x)로 주어졌을 때, f'(x)를 구하시오. SOLUTION. f(x)를 f'(x) 식에 대입하기 위해 f(x+h)를 구해야 한다. f(x+h)를 구한 이후에 도함수 식에 각 항을 대입하면 f'(x)를 쉽게 구할 수 있..

구간축소법(Shrinking Interval Method, SIM) - 증분(increment): 극히 작은 변화량으로 x축을 기준으로 δx로 표기한다. - 어떤 점 x에 증분을 더한 값은 x+δx로 x와 x+δx 사이의 간격을 구간(interval)이라 한다. 만약 x=3에서 y=3x^2+1의 변화율을 구한다고 하자. [1] x=3에서 y=3(3)^2+1=28이다. [2] x=3+δx에서 y는 다음과 같다. [3] 그러므로, y의 평균 변화율을 다음과 같이 계산할 수 있다. 할선의 기울기에서 접선의 기울기 개념을 유추한 것처럼 평균 변화율을 순간 변화율로 고치기 위해 구간을 점으로 축소시킨다. 구간의 증분 값 δx을 0으로 근사시키면, 구간이 점에 가까워 진다. y 미분(derivative) ■ xy그..

만약, 이면, 함수 f는 x=a에서 연속(continuous)한다. 함수의 연속은 '세 가지 조건'을 포함한다. (1) a는 f의 정의역에 속한다. (2) x→a의 극한이 존재한다. (3) lim_{x→a}[f(x)]=f(a) 함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다. 이것의 필요충분조건은 식 3.1을 따르며, 즉 x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다. 자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다. - 연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다. EXAMPLE 3.1 함수의 불연속성 다음 함수 f의 그래프를 보고, a, b, 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오. SOLUTION. [..

미분을 공부함에 있어, 극한(limit)의 개념은 매우 중요하다. 예를 들어, 다음과 같은 극한 식이 있다고 하자. 주어진 식 2.1은 다음과 같이 정의한다. 극한(limit) a와 같진 않으나, a에 충분히 가까운 x 값을 잡으면 L에 얼마든지 가까운 f(x) 값을 얻을 수 있는데, 'x가 a에 접근할 때, f(x)의 극한을 L'이라 한다. ■ The definition of the limit If all values of the functions f(x) approach the real number L as the value of x (not equal to a) approaches the number a, then we can say that the limit of f(x) as x approach..

미분적분학(calculus): 함수로 표현할 수 있는 어떤 물리량의 변화를 분석하는 데 사용되는 수학의 한 기법 - 함수(function)는 그래프로 표현될 때, 특정한 지점에서 얼마나 급격히 변화되는 지를 분석하는 데 사용한다. 함수 어떤 집합 X, Y에 대한 함수 f는 다음을 만족하는 대응관계로 정의한다. - 임의의 원소(element) x∈X에 대해, 그에 대응하는 원소 y∈Y가 유일하게 존재한다. - 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이라 한다. - 원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of the function), 또는 상(image)이라 하고, f(x)로 표기한다. - 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합, f(X)로 표기한다. 물리 세계에..