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변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다. 예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다. 일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다. 1. 역치환(inverse substitution) 2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로, 세타..

적분의 대표적인 전략으로 지금까지 IBS(치환적분법)과 IBP(부분적분법)를 알아보았다. 하지만 이 전략들 이외에도 피적분함수의 형태에 따라 몇 가지 적분법이 더 있다. 1. 삼각함수적분(Integrals of Trigonometric Functions, ITF) 2. 부분분수적분(Integration by Partial Fraction Decomposition, IPFD) 3. 삼각치환적분(Integration by Trigonometric Substitution, ITS) 삼각함수 적분을 위해서는 삼각함수 항등식을 반드시 복습해야 한다. ※ 참고: [미분] 8장. 도함수: 삼각함수의 도함수 https://herald-lab.tistory.com/9 [미분] 8장. 도함수: 삼각함수의 도함수 삼각함수(..

17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시가 '입실론-델타 논법'을 제시했다. 그는 극한을 다음과 같이 정의했다. "변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때, 이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다." 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 독일의 수학자 바이어슈트라스에 의해 최종 정리된다. 엡실론-델타 논법 Let f(x) be defined for all x≠a over an open interval containing a. Let L be a real number. Then ..

미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자. ※ The IBP [1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions. [2] The product rule in terms of differentials gives us: d(uv)=udv+vdu [3] Rearranging the rule, we can write: udv=d(uv)-vdu [4] Integrating both sides with respect to x: ∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula) 부정적분 부분적분 ■ IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선별하는..

적분법에 들어가기에 앞서 먼저 미적분학의 미분법에 대해 간단히 복습하자. 미분법과 마찬가지로 적분에서도 합성함수를 적분하는 여러 가지 전략이 있다. 곱법칙(몫법칙을 포함해), 그리고 연쇄법칙과 대응되는(corresponds to) 적분법들도 존재하는데 대응관계는 다음과 같다. 1. 부분적분(integration by parts): 곱법칙에 대응한다. 2. 치환적분(integration by substitution): 연쇄법칙에 대응한다. 치환적분 치환적분은 연쇄법칙과 유사한 방법의 적분법으로 연쇄법칙에서의 내부함수의 치환 요령을 따른다. [1] 내부함수를 u로 치환한다. [2] du/dx=g'(x)를 구한다. [3] 적분식에서 dx를 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다. ⇒ dx=du/g'(x) [4] u를 ..

미적분학의 기본정리 2에서 F는 f에 대한 임의의 원시함수였고, F는 다시 ∫f(x)dx로 표현할 수 있다. - 원시함수는 부정적분(indefinite integral)이라 불리며, 함수족(family)이다. ⇒ 즉, 부정적분은 하나의 함수족이다. F(x)=x^3/3은 f(x)=x^2의 역도함수, 즉 부정적분이며 여러 개의 부정적분을 갖는다. - c는 부정적분의 상수(constant of integral)이다. - 부정적분의 상수는 임의의 값을 갖는다. 자주 사용되는 함수-부정적분 공식 함수의 미분공식처럼 앞으로 적분을 풀기 위해서는 부정적분표가 필요하다. 부정적분의 여러 공식은 우변의 함수를 미분하여 피적분함수를 구하는 것으로 증명할 수 있다. ※ List of Integrals There are ni..

뉴턴의 스승 배로(Isaac Barrow, 1630~1677, 잉글랜드)는 미분 문제와 적분 문제가 서로 밀접함을 발견했다. - 배로는 접선 문제와 넓이 문제의 풀이가 서로 역과정임을 확인했다. ⇒ 미적분학의 기본정리 이전에 적분은 합의 극한으로서 계산되었다. 함수 f가 구간 [a, b]에서 적분가능하고 Δx=b-a/n, x_i=a+iΔx일 때, 정적분은 다음과 같이 정의한다. 미적분학의 기본정리 미적분학의 기본정리 1(Fundamental Theorem of Calculus 1, FTC1) 만약 f가 구간 [a, b]에서 연속한다면, 로 정의된 함수 g는 구간 [a, b]에서 연속이고, 구간 (a, b)에서 미분가능하며, g'(x)=f(x)이다. ■ - g(x)는 f(t)의 넓이와 같다. - g는 적분..

곡선함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법으로 2가지 근사와 함께 표본점을 이용한 극한 값까지 확인했다. 특히 표본점의 근사식은 곡선의 길이, 입체의 부피, 질중심, 압력에 의한 힘(force) 등 다양한 물리량을 구하는 문제 등에 활용된다. 그러므로 이러한 형태의 극한은 특별한 이름과 기호를 붙일 수 있다. 정적분 ■ 만일 f가 a≤x≤b에서 정의된 연속함수라면, 구간 [a, b]를 동일한 폭 Δx=b-a/n인 n개의 부분 구간들로 나눌 수 있다. x_0=a, x_1, x_1, ..., x_n=b까지를 부분구간들의 끝점으로 두고 x_1*, x_2*, ..., x_n*을 임의의 표본점이라 하면, x_i*는 i번째의 부분구간 [x_i-1, x_i]에 놓이게 된다. 그러면 a에서 b까지의 ..

적분의 기원 적분의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스(시라쿠사 출신)가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어, 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다. 이후 1622년 이탈리아의 수학자 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri; 밀라노 출신)가 무한의 개념을 도입해, 곡선으로 둘러싼 도형의 면적은 매우 폭이 좁은 직사각형들의 면적의 합이라는 주장을 한다. ※ 참고: [미분] 1장. 들어가기: 미분적분학 https://herald-lab.tistory.com/2 [미분] 1장. 들어가기: 미분적분학 미분적분학(calculus): 함수로 표현할 수 있는 어떤 물리량의 변화를 분석하는 데 사용되는 수학의 한 기법 - 함수가 그래프로 표현될 때, 특정..

음함수 미분법 지금까지 미분법을 위한 함수는 y=f(x)의 꼴을 가졌다. 즉, 우변에 x항을 모두 모은 형태로 이전 장까지는 양함수(explicit function)에 대한 미분법만을 다루었다. - where the variable y is on the left side, and the right side depends only on the independent variable x, then the function is said to be an explicit function(or be given explicitly). 그러나, 와 같은 함수는 y=f(x) 꼴로 y를 표현할 수 없다. 즉, 식 10.1은 음함수적(implicitly)으로 표현될 수 있다고 정의한다. 음함수를 정의하기 위해 식 10.2를 ..