【현대물리학】 불확정성의 원리

양자 입자 모형 Quantum Particle Model

빛과 물질이 가진 입자성과 파동성을 설명하기 위해, ‘이중성(duality of light and matter)’을 전제하는 양자입자모형(quantum particle model)을 도입했다.

1. 물체의 실체(entity)는 입자성과 파동성을 동시에 수반한다.

2. 두 가지 성질은 양자 선택성을 띤다. 빛이 물질과 상호작용하지 않을 경우 파동의 거동을 보이나, 상호작용을 하는 경우 양자화된 입자성을 보인다.

- 입자성을 가진 실체는 파동으로부터 구성될 수 있다.

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파동 묶음

그림 1. 파동 묶음

 

이상적인 파동은 단일한 주파수를 가지고 무한히 길다. 그러므로 입자를 파동과 구별 짓는 가장 큰 특징은 공간의 국소성이다.

- 무한히 긴 파동으로부터 위치가 국소적인 실체

- 파동 1: x=0에서 마루를 가진 파동

- 파동 2: 파동 1과 최고 진폭은 같으나 주파수가 다른 파동 ⇒ x=0에서 역시 같은 마루를 가진다.

그림 2. 보강간섭(좌)과 상쇄간섭(나)

 

파동 1과 파동 2는 중첩의 결과 파동이 일치하는 위상과 일치하지 않는 위상이 교대로 나타난다. ⇒ 맥놀이

- 맥놀이가 진행되는 경우 중첩된 부분의 공간적 국소성이 발생한다. ⇒ 보강간섭이 일어나는 공간영역과 상쇄간섭이 일어나는 공간영역 간의 차이가 파동 전체의 공간적 국소성과 같다!

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각기 다른 주파수를 가진 새로운 파동을 계속 더하는 경우 다음과 같은 특징이 나타난다.

- 각각의 새로운 파동의 최고점은 모두 x=0에 위치하도록 설정한다. 그러나 각각의 파동의 주파수가 다르므로 이후 지점의 파동진폭은 보강이 되거나 혹은 상쇄가 된다.

- 수많은 파동을 고려하면 임의의 한 점에서 파동함수의 양의 값 확률은 음의 값 확률과 같고, 모든 마루가 중첩된 x=0 근방을 제외한 모든 점에서 상쇄간섭이 발생한다.

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파동 묶음(wave packet): 보강간섭이 일어난 미소 영역 ⇒ x=0 근방의 공간적 국소영역으로 공간의 국소성 설명에 적합하다.

- 파동묶음 이외의 중첩결과는 0이다.

- 파동묶음은 공간적 국소성으로 입자로 간주할 수 있고, 묶음의 위치가 곧 입자의 위치이다.

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PROOF. 파동 묶음의 수학적 표현

두 파동의 진폭은 같으나 서로 다른 주파수를 가진다.

두 파동이 중첩되면 다음과 같다.

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두 번째 코사인 함수 인자는 각 파동에 대한 평균값과 일치하는 파수와 주파수를 가진 파동을 표현했다.

그림 3. 포락선

 

- 포락선[그림 3]은 각각의 파동과는 다른 속력으로 공간을 움직인다.

- 가능한 극단적 예로 반대 방향으로 움직이는 두 파동을 조합이 있다. ⇒ 두 파동이 같은 속력으로 움직일 때, 정상파를 구성하기 때문에 포락선의 속력은 0이다.

- 의미: 파동의 위상속력은 파동 식에서 공간 변수의 계수와 시간 변수의 계수 비와 같다.

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위의 논리를 따라, 포락선 함수 역시 파동의 형태이므로 ‘군 속력(group speed)’을 정의할 수 있다.

두 파동이 아닌 아주 많은 파동의 중첩에 대해 군 속력과 비율은 미분을 취할 수 있다.

- 의미: 무수히 많은 파동이 중첩되었을 때 형성한 포락선(파동 군)이 가지는 속력

군 속력의 분자와 분모 각각에 ha bar=ha/2π(플랑크 상수 변환 값)를 곱한다.

마지막으로 중첩된 파동에서의 포락선이 입자를 나타낼 가능성은 다음과 같이 정리할 수 있다.

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위의 식을 운동량에 대해 미분하면 다음과 같다.

그림 4. 파동 묶음의 형성

 

불확정성의 원리

Werner Heisenberg, 1901~1976

 

- 의미: 입자의 정확한 위치와 운동량을 동시에 측정하는 것이 불가능하다.

- 1927년, 독일의 이론물리학자 하이젠베르크(Werner Heisenberg, 1901~1976)가 제안했다.

- 실험과정에서 일어나는 실수나 기계가 가진 한계에 의한 오차범위가 아니다! ⇒ 물질의 양자적 구조 때문에 발생하는 ‘불가피한(inevitable)’ 오차

- 운동량의 불확정성의 곱은 항상 어떤 최솟값보다 크고 이는 플랑크 상수의 변환 값(변환 식) ha bar의 절반 크기이다.

- 의미: 에너지 보존이 극도의 짧은 시간 동안 ΔE만큼 위배될 수 있다.